(1)操作发现如图.矩形ABCD中.E是AD的中点.将△ABE沿BE折叠后得到△GBE.且点G在矩形ABCD内部．延长BG交DC于点F.证明GF=DF,根据上述证明过程中所添加的辅助线.找出两两相似的三个三角形(全等除外).并给出证明过程,(2)问题解决保持(1)中的条件不变.若DC=2DF.求ADAB的值,(3)类比探究保持(1)中的条件� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（1）操作发现
如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．延长BG交DC于点F，证明GF=DF；根据上述证明过程中所添加的辅助线，找出两两相似的三个三角形（

全等除外），并给出证明过程；
（2）问题解决
保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求

的值；
（3）类比探究
保持（1）中的条件不变，若DC=nDF，猜想

的值，直接写出结论．

分析：（1）连接EF，则AE=EG，可证明Rt△EGF≌Rt△EDF，则GF=DF，∠GEF=∠DEF，∠GFE=∠DFE，∠AEB=∠GEB，从而得出△EDF∽△BAE∽△BEF；
（2）由△EDF∽△BAE，得出

，根据四边形ABCD为矩形，可得出

的值；
（3）由△EDF∽△BAE，得

，根据DC=nDF，四边形ABCD为矩形，

，则

．

解答：

解：（1）连接EF，
∵Rt△BAE≌△BGE，
∴AE=EG，
∵AE=ED，
∴EG=ED，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠EGF=∠A=∠D=90°，
∵EF=EF，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴GF=DF，
∴∠GEF=∠DEF，∠GFE=∠DFE，∠AEB=∠GEB，
∴∠BEF=90°，∠DEF+∠AEB=90°，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠A=∠D=∠BEF，
∵∠DEF+∠DFE=90°，
∴∠DFE=∠AEB=∠EFB，
∴△EDF∽△BAE∽△BEF；

（2）∵△EDF∽△BAE，
∴

，
∵DC=2DF，四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，
∴

，
∴

AD2

AB2

=2，
∴

；

（3）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y
∵DC=n•DF，
∴BF=BG+GF=（n+1）x
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+[（n-1）x]²=[（n+1）x]²∴y=2x

，
∴

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及翻折的性质，难度较大．

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科目：初中数学 来源： 题型：

（2013•河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．
（1）操作发现
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：
①线段DE与AC的位置关系是

DE∥AC

；
②设△BDC的面积为S₁，△AEC的面积为S₂，则S₁与S₂的数量关系是

S₁=S₂

．

（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S₁与S₂的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S_△DCF=S_△BDE，请直接写出相应的BF的长．