Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+，0），对于线段AB和点P给出如下定义：当∠APB＝90°时，称点P为线段AB的“直角视点”．

（1）若t＝﹣，在点C（0，），D（﹣1，），E（，）中，能够成为线段AB“直角视点”的是　 　．

（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（，0），∠OMN＝30°．

①线段AB的“直角视点”P在直线MN上，且∠ABP＝60°，求点P的坐标．

②在①的条件下，记Q为直线MN上的动点，在点Q的运动过程中，△QAB的周长存在最小值，试求△QAB周长的最小值　 　．

③若线段AB的所有“直角视点”都在△MON内部，则t的取值范围是　 　．

Answer 1

【答案】（1）C、E；（2）①点P的坐标为或；② ③

【解析】

（1）根据给定的t值找出A、B点的坐标，再利用解三角形的方法讨论C、D、E点是否满足“直角视点”的条件即可得出结论；
（2）①分两种情况：当MN与x轴的夹角∠OMN在x轴上方时和当 MN与x轴的夹角∠OMN在x轴下方时，分别计算点P的坐标即可.

②作A关于MN的对称点A'，连接BA'交MN于Q'，延长AP交AB于H，H与G重合，连接AA'，则AA'⊥MN，AQ'+BQ'＝A'B最小，进行计算即可.
③分别计算B点与O重合，点A与M重合时t的值，从而得出线段AB的所有“直角视点”都在△MON内部，则t的取值范围．

解：（1）若 则

则

∴

∵点C（0，），D（﹣1，），E（，）

由勾股定理得：

∴AC2+BC2＝AB2，

∴∠ACB＝90°，

∴点C是线段AB的“直角视点”；

同理：

∴

∴

∴点D不是线段AB的“直角视点”；

同理：

∴AE2+BE2＝8＝AB2，

∴∠AEB＝90°，

∴点E是线段AB的“直角视点”；

故答案为：C、E；

（2）①分两种情况：当MN与x轴的夹角∠OMN在x轴上方时，

∵点P是线段AB的“直角视点”，

∴∠APB＝90°，

∴点P在以AB为直径的圆上，

∵∠ABP＝60°，

∴∠PAB＝30°，

∴

如图1所示：作PG⊥AB于G，

则

∵点M的坐标是 ,∠OMN＝30°，

∴

∴

∴P

当MN与x轴的夹角∠OMN在x轴下方时，同理得：P

综上所述，点P的坐标为或;

②∵，若△QAB的周长最小，则AQ+BQ的值最小，

作A关于MN的对称点A'，连接BA'交MN于Q'，延长AP交AB于H，H与G重合，连接AA'，

则AA'⊥MN，AQ'+BQ'＝A'B最小，

∵∠OMN＝30°，

∴∠MAA'＝60°，

∵

∴

由勾股定理得：

∴△QAB最小值为

故答案为：

③如图3所示：

当B点与O重合，则

∴

当A与M重合时，

∴若线段AB的所有“直角视点”都在△MON内部，t的取值范围是

故答案为：