Question

在化学实验中，小明将半径为6cm的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形．取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线OB长为6cm，开口直径为6cm．当滤纸片重叠部分三层，且每层为

1

4

圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴漏斗的内壁？请你用所学的数学知识说明．

Answer 1

分析：此题是圆锥侧面积求解的典型问题，要灵活运用公式，并结合实际解题．

解答：解：∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形，
∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．
由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系．
将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为

1

4

圆，
则围成的圆锥形的侧面积=（1-2×

1

4

）S_滤纸圆=

1

2

S_滤纸圆．
∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为180度，
如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为π×6=6π（cm），
该侧面展开图的圆心角为6π÷6×

180°

π

=180度．
由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等．
∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁．

点评：本题考查了圆锥的计算，将几何图形做适当变形，找出隐藏条件是解一些复杂几何问题常用的方法．