Question

已知：把矩形AOBC放入直角坐标系xOy中，使OB、OA分别落在x轴、y轴上，点A的坐标为（0，2），连接AB，∠OAB=60°，将△ABC沿AB翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，AD交x轴于点E．
（1）求D点坐标；
（2）求经过点A、D的直线的解析式．

Answer 1

解：根据题意，可分以下两种情况：
第一种情况矩形在第一象限，如图．
（1）OA=2，∠AOB=90°，∠OAB=60°，
∴OB=OA•tan60°=2•=6．
又Rt△ACB≌Rt△ADB，
∴AC=AD=OB=6．
过点D作y轴的垂线，垂足为F，
∠OAB=60°，
∴∠BAC=∠BAD=∠DAF=30°．
∴DF=AD=3．
AF=AD•cos30°=6×=3，
∴OF=AF-OA=3-2=．
∴点D的坐标为（3，-）．

（2）设经过点A（0，2）、D（3，-）的直线的解析式为y=kx+b，
，
解得．
∴经过点A、D的直线的解析式为y=-x+2．
第二种情况矩形在第二象限，（图略）
（1）由第一种情况，根据对称性得，点D的坐标为（-3，-）．
（2）设经过点A（0，2）、D（3，-）的直线的解析式为y=kx+b，
，
解得．
∴经过点A、D的直线的解析式为y=x+2．
分析：根据题意，可分两种情况：
第一种情况矩形在第一象限．
（1）根据Rt△ACB≌Rt△ADB，过点D作y轴的垂线，垂足为F，∠OAB=60°，∠BAC=∠BAD=∠DAF=30°，可求DF=AD=3，利用三角函数可求AF=AD•cos30°=6×=3，则OF=AF-OA=3-2=，所以点D的坐标为（3，-）；
（2）设经过点A（0，2）、D（3，-）的直线的解析式为y=kx+b，利用待定系数法可求经过点A、D的直线的解析式为y=-x+2；
第二种情况矩形在第二象限．
（1）由第一种情况，根据对称性得，点D的坐标为（-3，-）；
（2）设经过点A（0，2）、D（3，-）的直线的解析式为y=kx+b，
利用待定系数法可求经过点A、D的直线的解析式为y=x+2．
点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象上点的意义和全等三角形的性质来表示相应的线段之间的关系，求得对应点的坐标利用待定系数法求解析式．试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．