Question

【题目】对于平面内的点 P 和图形 M，给出如下定义：以点 P 为圆心，以 r 为半径作⊙P，使得图形 M 上的所有点都在⊙P 的内部（或边上），当 r 最小时，称⊙P 为图形 M 的 P 点 控制圆，此时，⊙P 的半径称为图形 M 的 P 点控制半径．已知，在平面直角坐标系中， 正方形 OABC 的位置如图所示，其中点 B（2，2）

（1）已知点 D（1，0），正方形 OABC 的 D 点控制半径为 r1，正方形 OABC 的 A 点 控制半径为 r2，请比较大小：r1 r2；

（2）连接 OB，点 F 是线段 OB 上的点，直线 l：y= x+b；若存在正方形 OABC 的 F点控制圆与直线 l 有两个交点，求 b 的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）＜；（2）．

【解析】

（1）根据控制半径的定义求出r1和r2即可解决问题；

（2）如图所示，圆O和圆B分别是以O，B为圆心，以OB长为半径的圆，分别求出直线l与圆O相切，直线l与圆B相切时的b值，得到两种极限情况下的b值，即可得到b 的取值范围．

解：（1）由题意得：r1＝BD＝CD＝，r2＝AC＝，

∴r1＜r2；

（2）如图所示，圆O和圆B分别是以O，B为圆心，以OB长为半径的圆，

当直线l：与圆O相切于点M时，连接OM，可得OM与直线l垂直，

则直线OM的解析式为：，

设M（x，），

∵OM＝OB，

∴OM＝，

∴或（舍去），

∴M（，），

将（，）代入得：，

解得：，

当直线l：与圆B相切于点N时，连接BN，

同理可求出此时，

∴b的取值范围为：．