Question

【题目】如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝DC，连接CF．

（1）求证：D是BC的中点；

（2）若∠BAC＝90°，求证：四边形ADCF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）首先利用平行线的性质得出△AEF≌△DEB，进而得出D为BC的中点；

（2）先证明四边形ADCF是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出AD＝DC，即可得出结论．

（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE，

∵E是AD的中点，

∴AE＝DE，

在△AEF和△DEB中，

，

∴△AEF≌△DEB（AAS），

∴AF＝DB，

∵AF＝DC，

∴DB＝DC，即D是BC的中点；

（2）证明：∵AF∥DC，AF＝DC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵∠BAC＝90°，DB＝DC，

∴AD＝BC＝DC，

∴四边形ADCF是菱形．