Question

17．如图，在⊙O中，AB是直径，点C在圆上，∠A=30°，BD∥AC，且BD=$\frac{1}{3}$AC．
（1）求∠D的度数；
（2）求证：DC是⊙O的切线；
（3）连接AD，求tan∠BAD的值．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理得出∠ACB=90°，证出AC=$\sqrt{3}$BC，由平行线的性质得出∠DBC=∠ACB=90°，求出BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC，即可得出结论；
（2）连接OC，由等腰三角形的性质得出∠OCA=∠A=30°，证出∠OCD=90°，即可得出结论；
（3）作DM⊥AB于M，由直角三角形的性质求出DM=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$a，BM=$\sqrt{3}$DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，BC=$\sqrt{3}$BD=$\sqrt{3}$a，AB=2BC=2a，得出AM=AB+BM=2a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，再由三角函数定义即可得出答案．

解答 （1）解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=30°，
∴∠ABC=60°
∴AC=$\sqrt{3}$BC，
∵BD∥AC，
∴∠DBC=∠ACB=90°，
∵BD=$\frac{1}{3}$AC，
∴BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC，
∴∠BDC=60°；

（2）证明：连接OC，如图1所示：
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∵∠BCD=30°，
∴∠OCD=∠ACB=90°，即CD⊥OC，
∴DC是⊙O的切线；

（3）解：作DM⊥AB于M，如图2所示：
设BD=a，
∵BD∥AC，
∴∠DBM=∠A=30°，
∴DM=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$a，BM=$\sqrt{3}$DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∵∠DBC=90°，∠BDC=60°，
∴BC=$\sqrt{3}$BD=$\sqrt{3}$a，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=2a，
∴AM=AB+BM=2a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴tan∠BAD=$\frac{DM}{AM}$=$\frac{\frac{1}{2}a}{2a+\frac{\sqrt{3}}{2}a}$=$\frac{4-\sqrt{3}}{13}$．

点评 本题考查了切线的判定、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度．