Question

20．学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．

（1）如图1，是由边长为a，b的正方形和长为a，宽为b的长方形拼成的大长方形，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a²+3ab+2b²；
（2）请从下列的A，B两题中任选一题作答，我选择A题．
A：①如图2，是几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为a+b+c的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为（a+b+c）²=a²+c²+b²+2（ab+bc+ac）；
②已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，利用①中所得到的等式，求代数式a²+b²+c²的值．
B：①如图3，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为a+b的大正方体，类比（1）题，用不同的方法表示这个大正方体的体积，得到的等式为（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³；
②已知a+b=5，ab=6，利用①中所得的等式，求代数式a³+b³的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，由图形面积的两种不同表示方法可得等式；
（2）A：①如图2，由图形面积的两种不同表示方法可得等式；
②由等式利用代入法即可求解；
B：①如图3，由图形体积的两种不同表示方法可得等式；
②由等式利用代入法即可求解．

解答 解：（1）如图1，是由边长为a，b的正方形和长为a，宽为b的长方形拼成的大长方形，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a²+3ab+2b²；
（2）选择A题．
A：①如图2，是几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为a+b+c的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为（a+b+c）²=a²+c²+b²+2（ab+bc+ac）；
②∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，
∴a²+b²+c²
=（a+b+c）²-2（ab+bc+ac）
=121-76
=45．
选择B题．
B：①如图3，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为a+b的大正方体，类比（1）题，用不同的方法表示这个大正方体的体积，得到的等式为（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³；
②∵a+b=5，ab=6，
∴a³+b³
=（a+b）³-3a²b-3ab²
=（a+b）³-3ab（a+b）
=125-3×6×5
=125-90
=35．
故答案为：a²+3ab+2b²；A，（a+b+c）²=a²+c²+b²+2（ab+bc+ac）；（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³．

点评 该题目考查了完全平方公式的几何背景，利用图形的面积和体积来得到数学公式，关键是灵活进行数学结合来分析．