Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（

a

，

1

16

）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．
（1）求a，b，c的值；
（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；
（3）设⊙P与x轴相交于M（x₁，0），N（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a，b，c的值即可；
（2）设P（x，y），表示出⊙P的半径r，进而与

1

4

x²比较得出答案即可；
（3）分别表示出AM，AN的长，进而分别利用当AM=AN时，当AM=MN时，当AN=MN时，求出a的值，进而得出圆心P的纵坐标即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（

a

，

1

16

）两点，
∴抛物线的一般式为：y=ax²，
∴

1

16

=a（

a

）²，
解得：a=±

1

4

，
∵图象开口向上，
∴a=

1

4

，
∴抛物线解析式为：y=

1

4

x²，
故a=

1

4

，b=c=0；

（2）设P（x，y），⊙P的半径r=

x2+(y-2)2

，
又∵y=

1

4

x²，则r=

x2+( 1 4 x2-2)2

，
化简得：r=

1 16 x4+4

＞

1

4

x²，
∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交；

（3）设P（a，

1

4

a²），
∵PA=

1 16 a4+4

，
作PH⊥MN于H，
则PM=PN=

1 16 a4+4

，
又∵PH=

1

4

a²，
则MH=NH=

1 16 a4+4-( 1 4 a2)2

=2，
故MN=4，
∴M（a-2，0），N（a+2，0），
又∵A（0，2），
∴AM=

(a-2)2+4

，AN=

(a+2)2+4

，
当AM=AN时，

(a-2)2+4

=

(a+2)2+4

，
解得：a=0，
当AM=MN时，

(a-2)2+4

=4，
解得：a=2±2

3

，则

1

4

a²=4±2

3

；
当AN=MN时，

(a+2)2+4

=4，
解得：a=-2±2

3

，则

1

4

a²=4±2

3

；
综上所述，P的纵坐标为：0或4+2

3

或4-2

3

．

点评：此题主要考查了二次函数综合以及等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据题意利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．