Question

18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形

（1）求该抛物线的解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）求证：CE=EF；
（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2$\sqrt{2}$=（$\sqrt{2}$+1）²]．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的顶点是（2，1），因而设抛物线的表达式为y=a（x-2）²+1，把A的坐标代入即可求得函数的解析式；
（2）根据△PCQ为等边三角形，则△CGQ中，∠CQD=30°，CG的长度可以求得，利用直角三角形的性质，即可求得CQ，即等边△CQP的边长，则P的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得P的坐标；
（3）解方程组即可求得E的坐标，则EF的长等于E的纵坐标，OE的长度，利用勾股定理可以求得，同理，OC的长度可以求得，则CE的长度即可求解；
（4）可以利用反证法，假设x轴上存在一点，使△CQM≌△CPE，可以证得EM=EF，即M与F重合，与点E为直线y=x上的点，∠CEF=45°即点M与点F不重合相矛盾，故M不存在．

解答 解：（1）设抛物线的表达式为y=a（x-2）²+1，将点A（0，2）代入，得a（0-2）²+1=2，
解这个方程，得a=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的表达式为y=$\frac{1}{4}$（x-2）²+1=$\frac{1}{4}$x²-x+2；
（2）将x=2代入y=x，得y=2
∴点C的坐标为（2，2）即CG=2，
∵△PCQ为等边三角形
∴∠CQP=60°，CQ=PQ，
∵PQ⊥x轴，
∴∠CQG=30°，
∴CQ=4，GQ=2$\sqrt{3}$．
∴OQ=2+2$\sqrt{3}$，PQ=4，
将y=4代入y=$\frac{1}{4}$（x-2）²+1，得4=$\frac{1}{4}$（x-2）²+1
解这个方程，得x₁=2+2$\sqrt{3}$=OQ，x₂=2-2$\sqrt{3}$＜0（不合题意，舍去）．
∴点P的坐标为（2+2$\sqrt{3}$，4）；
（3）把y=x代入y=$\frac{1}{4}$x²-x+2，得x=$\frac{1}{4}$x²-x+2
解这个方程，得x₁=4+2$\sqrt{2}$，x₂=4-2$\sqrt{2}$＜2（不合题意，舍去）
∴y=4+2$\sqrt{2}$=EF
∴点E的坐标为（4+2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$）
∴OE=$\sqrt{E{F}^{2}+O{F}^{2}}$=4+4$\sqrt{2}$，
又∵OC=$\sqrt{C{G}^{2}+O{G}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴CE=OE-OC=4+2$\sqrt{2}$，
∴CE=EF；
（4）不存在．
如图，假设x轴上存在一点，使△CQM≌△CPE，则CM=CE，∠QCM=∠PCE

∵∠QCP=60°，
∴∠MCE=60°
又∵CE=EF，
∴EM=EF，
又∵点E为直线y=x上的点，
∴∠CEF=45°，
∴点M与点F不重合．
∵EF⊥x轴，这与“垂线段最短”矛盾，
∴原假设错误，满足条件的点M不存在．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及等边三角形的性质，解直角三角形，反证法，正确求得E的坐标是关键．