Question

20．如图，正方形ABCD中，AE=EF=FB，BG=2CG，DE，DF分别交AG于P、Q，S_{四边形GCDQ}：S_{四边形BGQF}==17：9．

Answer 1

分析 连接FG，DG，设AE=EF=FB=a，BG=2a，GC=a，DC=3a，证得△ADF≌△ABG，根据全等三角形的性质得到∠AFD=∠AGB，推出△AFQ∽△AGB，由相似三角形的性质得到$\frac{FQ}{BG}$=$\frac{AQ}{AB}$，求得FQ=$\frac{BG•AQ}{AB}$=$\frac{2a•6a}{\frac{\sqrt{13}}{3a}}$=$\frac{4a}{\sqrt{13}}$，于是得到DQ=DF-FQ=$\sqrt{13a}$-$\frac{4a}{\sqrt{13}}$=$\frac{9a}{\sqrt{13}}$，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：如图，连接FG，DG，
设AE=EF=FB=a，BG=2a，GC=a，DC=3a，
在△ADF与△ABG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAF=∠ABG=90°}\\{AF=BG}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ABG，
∴∠AFD=∠AGB，
∵∠FAQ=∠GAB，
∴△AFQ∽△AGB，
∴$\frac{FQ}{BG}$=$\frac{AQ}{AB}$，
∴FQ=$\frac{BG•AQ}{AB}$=$\frac{2a•6a}{\frac{\sqrt{13}}{3a}}$=$\frac{4a}{\sqrt{13}}$，
∴DQ=DF-FQ=$\sqrt{13a}$-$\frac{4a}{\sqrt{13}}$=$\frac{9a}{\sqrt{13}}$，
S_{四边形GCDQ}=S_△GCD+S_△GQD=$\frac{1}{2}$GC•CD+$\frac{1}{2}$GQ•QD=$\frac{1}{2}$a•3a+$\frac{1}{2}$•$\frac{7a}{\sqrt{13}}$•$\frac{9a}{\sqrt{13}}$=$\frac{51{a}^{2}}{13}$，
S_{四边形BGQF}=S_△FBG+S_△FQG=$\frac{1}{2}$BG•BF+$\frac{1}{2}$FQ•GQ=$\frac{1}{2}$a•2a+$\frac{1}{2}$•$\frac{4a}{\sqrt{13}}•\frac{7a}{\sqrt{13}}=\frac{27{a}^{2}}{13}$，
∴S_{四边形GCDQ}：S_{四边形BGQF}=$\frac{51{a}^{2}}{13}$：$\frac{27{a}^{2}}{13}$=17：9．

点评 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．