Question

如图，在□ABCD中，EF垂直平分AC交BC于E，交AD于F.

（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AC⊥CD，AB=6，BC=10，求四边形AECF的面积.

Answer 1

（1）证明见解析; （2）24.

试题分析：（1）先根据垂直平分线的性质得∴AE=EC，AF=FC，所以∠1=∠2，∠3=∠4；再结合平行线的性质得出∠1=∠4=∠3，即AF=AE，利用四条边相等的四边形是菱形即可证明;
（2）根据平行四边形的判定和性质, 勾股定理求出菱形AECF的两对角线长,即可根据菱形的面积公式求得.
试题解析：（1）∵EF垂直平分AC，∴AO=OC.∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. ∴∠1=∠4=∠3. ∴AF=AE.
∴AE=EC=CF=FA.∴四边形AECF是菱形．

（2）∵EF垂直平分AC，AC⊥CD，∴EF∥CD.
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. ∴四边形ECDF是平行四边形.
又∵AB=6，∴EF="CD=" AB=6.
在Rt△ACD中, ∵CD="6,AD=" BC=10，∴根据勾股定理,得AC=8.
∴四边形AECF的面积=×AC×EF=24.