Question

在△ABC中，AB=16，AC=10，∠ABC=30°，则BC=

 

．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：分类讨论

分析：根据三角形为锐角三角形及钝角三角形分两种情况考虑：分别作出AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，再利用勾股定理求出BD的长，在直角三角形ADC中，由AC及AD的长，利用勾股定理求出DC的长，由BD+DC及BD-CD即可求出BC的长．

解答：解：分两种情况考虑，
（i）当△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC，如图1所示，

∵在Rt△ABD中，AB=16，∠ABC=30°，
∴AD=

1

2

AB=8，
利用勾股定理得：BD=

AB2-AD2

=8

3

，
在Rt△ADC中，AD=8，AC=10，
根据勾股定理得：DC=

AC2-AD2

=6，
则BC=BD+DC=8

3

+6；
（ii）当△ABC为钝角三角形，过A作AD⊥BC，如图2所示，
∵在Rt△ABD中，AB=16，∠ABC=30°，
∴AD=

1

2

AB=8，
利用勾股定理得：BD=

AB2-AD2

=8

3

，
在Rt△ADC中，AD=8，AC=10，
根据勾股定理得：DC=

AC2-AD2

=6，
则BC=BD-DC=8

3

-6，
综上，BC的长为8

3

+6或8

3

-6．
故答案为：8

3

+6或8

3

-6

点评：此题考查了含30°直角三角形的性质，以及勾股定理，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．