Question

12．如图1，在平面直角坐标系中，直线BC与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线AD与x轴，y轴分别交于A、D两点，其中A（-3，0）、B（4，0），C（0，4）并且AD⊥BC于点E
（1）求点D的坐标；
（2）点P从点A出发沿x轴正方向匀速运动，运动速度为每秒2个单位的长度，过点P作PM⊥x轴分别交直线AD、BC于点M、N，设点P的运动时间为t（秒），MN=m（m＞0），请用含t的式子表示m，并说明理由（并直接写出t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，EK⊥x轴于点K，连接MK，作KQ⊥MK交直线BC于点Q，当S_△KQB=$\frac{35}{8}$时，求此时的P值及点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）设直线BC解析式为y=kx+b，把B与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线BC解析式，由直线AE与直线BC垂直，以及A的坐标确定出直线AE解析式，即可求出D的坐标；
（2）联立直线AE与直线BC解析式，求出E坐标，确定出AK的长，分三种情况考虑：当0＜t≤$\frac{3}{2}$时；当$\frac{3}{2}$＜t≤$\frac{7}{4}$时；当$\frac{7}{4}$＜t≤$\frac{7}{2}$时，分别用t表示出m即可；
（3）如图2和图3所示，根据三角形BKQ的面积及KB的长，求出Q的纵坐标，进而求出横坐标，确定出Q坐标，分别设出P坐标，表示出M坐标，由MK与KQ垂直求出M坐标，进而求出P的坐标以及此时t的值即可．

解答 解：（1）设直线BC解析式为y=kx+b，
把B（4，0），C（0，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
故直线BC解析式为y=-x+4，
由直线AE⊥直线BC，得到直线AE解析式为y=x+a，
把A（-3，0）代入得：0=-3+a，即a=3，
故直线AE解析式为y=x+3，
令x=0，得到y=3，即D（0，3）；
（2）过C作CK⊥x轴，如图2所示，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-x+4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，即E（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），
∴AK=OA+OK=3$\frac{1}{2}$，
分三种情况考虑：
当0＜t≤$\frac{3}{2}$时，由题意得：P（2t-3，0）
把x=2t-3代入直线AE解析式得：PM=y=2t，把x=2t-3代入直线BC解析式得：PN=y=7-2t，
此时m=MN=PN-PM=7-2t-2t=7-4t；
当$\frac{3}{2}$＜t≤$\frac{7}{4}$时，由题意得：OP=AP-AO=2t-3，
把x=2t-3代入直线AE解析式得：PM=y=2t，把x=2t-3代入直线BC解析式得：PN=7-2t，
此时m=MN=PN-PM=7-2t-2t=7-4t；
当$\frac{7}{4}$＜t≤$\frac{7}{2}$时，由题意得：OP=AP-AO=2t-3，
把x=2t-3代入直线AE解析式得：PM=y=2t，把x=2t-3代入直线BC解析式得：PN=7-2t，
此时m=MN=PM-PN=2t-7+2t=4t-7；
（3）由（2）得：OK=$\frac{1}{2}$，KB=OB-OK=4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∵S_△KQB=$\frac{1}{2}$•KB•|y_Q纵坐标|=$\frac{1}{2}$•$\frac{7}{2}$•|y_Q纵坐标|=$\frac{35}{8}$，
∴|y_Q纵坐标|=$\frac{5}{2}$，
当y_Q纵坐标=$\frac{5}{2}$时，如图2所示，把y=$\frac{5}{2}$代入直线BC解析式得：x=$\frac{3}{2}$，即此时Q（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）；
设此时P（p，0），把x=p代入直线AE解析式得：PM=y=p+3，即M（p，p+3），
∵MK⊥KQ，K（$\frac{1}{2}$，0），
∴k_MK•k_KQ=-1，即$\frac{p+3}{p-\frac{1}{2}}$•$\frac{\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}$=-1，
解得：p=-2，此时P（-2，0），M（-2，1），t=0.5；
当y_Q纵坐标=-$\frac{5}{2}$时，如图3所示，把y=-$\frac{5}{2}$代入直线BC解析式得：x=$\frac{13}{2}$，即此时Q（$\frac{13}{2}$，-$\frac{5}{2}$）；
设此时P（m，0），把x=m代入直线AE解析式得：PM=y=m+3，即M（m，m+3），
∵MK⊥KQ，K（$\frac{1}{2}$，0），
∴k_MK•k_KQ=-1，即$\frac{m+3}{m-\frac{1}{2}}$•$\frac{-\frac{5}{2}}{\frac{13}{2}-\frac{1}{2}}$=-1，
解得：m=3．
此时P（3，0），M（3，6），t=3．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，两直线的交点坐标，两直线垂直时斜率满足的关系，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．