Question

18．请你设计一方案，求出15°的正弦、余弦、正切、余切的值．（答案保留根号 ）

Answer 1

分析 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，设AC=x，则BC=$\sqrt{3}$x，AB=2x，延长CB到D点，使AB=DB=2x，则∠D=15°，在Rt△ADC中利用勾股定理计算出AD=（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）x，然后根据三角函数的定义分别计算15°的正弦、余弦、正切、余切的值．

解答 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，
设AC=x，则BC=$\sqrt{3}$x，AB=2x，
延长CB到D点，使AB=DB=2x，则∠D=∠BAD，
∵∠ABC=∠D+∠BAD=30°，
∴∠D=15°，
在Rt△ADC中，∵AC=x，CD=2x+$\sqrt{3}$x，
∴AD=$\sqrt{{x}^{2}+（2x+\sqrt{3}x）^{2}}$=（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）x，
∴sin15°=$\frac{AC}{AD}$=$\frac{x}{（\sqrt{6}+\sqrt{2}）x}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
cos15°=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{（2+\sqrt{3}）x}{（\sqrt{6}+\sqrt{2}）x}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
tan15°=$\frac{x}{（2+\sqrt{3}）x}$=2-$\sqrt{3}$，cot15°=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{（2+\sqrt{3}）x}{x}$=2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．