Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，CO⊥AB于O，D在⊙O上，连接BD，CD，延长CD与AB的延长线交于E，F在BE上，且FD=FE．

（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）若AF=8，tan∠BDF=，求EF的长．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】证明：连结OD，如图，

∵CO⊥AB，

∴∠E+∠C=90°，

∵FE=FD，OD=OC，

∴∠E=∠FDE，∠C=∠ODC，

∴∠FDE+∠ODC=90°，

∴∠ODF=90°，

∴OD⊥DF，

∴FD是⊙O的切线；

（2）

解：连结AD，如图，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠A+∠ABD=90°，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠A+∠ODB=90°，

∵∠BDF+∠ODB=90°，

∴∠A=∠BDF，

而∠DFB=∠AFD，

∴△FBD∽△FDA，

∴，

在Rt△ABD中，tan∠A=tan∠BDF=，

∴，

∴DF=2，

∴EF=2．

【解析】