Question

已知，△ABC中，AB=AC=2，BC=2

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，∠A=90°．取一块含45°角的直角三角尺，将直角顶点放在斜边BC边的中点O处，一条直角边过A点（如图1）．三角尺绕O点顺时针方向旋转，使90°角的两边与Rt△ABC的两边AB，AC分别相交于点E，F（如图2）．设BE=x，CF=y．
（1）探究：在图2中，线段AE与CF有怎样的大小关系？证明你的结论；
（2）求在上述旋转过程中y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）若将直角三角尺45°角的顶点放在斜边BC边的中点O处，一条直角边过A点（如图3）．三角尺绕O点顺时针方向旋转，使45°角的两边与Rt△ABC的两边AB，AC分别相交于点E，F（如图4）．在三角尺绕O点旋转的过程中，△OEF是否能成为等腰三角形？若能，直接写出△OEF为等腰三角形时x的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先得出，∠EAO=∠C=45°，AO=OC，∠EOA=∠FOC，进而得出△EOA≌△FOC，即可得出答案；
（2）利用AE=CF，得出BE+CF=BE+AE=AB=2，即x+y=2，即可得出答案；
（3）利用OE=EF时，点E为AB中点，点F与点A重合，当OE=OF时，BE=BO=CO=CF=

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，当EF=OF时，点E与点A重合，点F为AC中点，进而得出答案．

解答：解：（1）AE=CF．
理由：连接AO．如图2，
∵AB=AC，点O为BC的中点，∠BAC=90°，
∴∠AOC=90°，∠EAO=∠C=45°，AO=OC．
∵∠EOF=90°，∠EOA+∠AOF=90°，∠COF+∠AOF=90°，
∴∠EOA=∠FOC，
在△EOA和△FOC中，

∠EOA=∠COF AO=CO ∠OAE=∠C

∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴AE=CF．

（2）∵AE=CF，∴BE+CF=BE+AE=AB=2，即x+y=2，
∴y与x的函数关系式：y=2-x．
x的取值范围是：0≤x≤2．

（3）△OEF能构成等腰三角形．
当OE=EF时，如图3，点E为AB中点，点F与点A重合，BE=AE=1，即x=1，
当OE=OF时，如图4，BE=BO=CO=CF=

2

，即x=

2

，
当EF=OF时，如图5，点E与点A重合，点F为AC中点，即x=2，
综上所述：△OEF为等腰三角形时x的值为1或

2

或2．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定以及等腰直角三角形的性质，利用分类讨论得出是解题关键．