Question

16．如图，?ABCD的对角线相交于点O，将线段OD绕点O旋转，使点D的对应点落在BC延长线上的点E处，OE交CD于H，连接DE． 
（1）求证：DE⊥BC；
（2）若OE⊥CD，求证：2CE•OE=CD•DE；
（3）若OE⊥CD，BC=3，CE=1，求线段AC的长．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质得到OE=OD，根据等腰三角形的性质得到∠ODE=∠OED，根据平行四边形的性质得到OB=OD，OA=OC等量代换得到OB=OE，推出∠DEB=90°，根据垂直的定义得到结论；
（2）由垂直的定义得到∠CHE=90°，根据余角的性质得到∠CDE=∠OEB等量代换得到∠CDE=∠OBE，根据相似三角形的性质得到CE•BD=CD•DE，等量代换即可得到结论；
（3）根据相似三角形的性质得到DE²=CE•BE=4，求得DE=2，过点O作OF⊥BE，垂足为F，根据等腰三角形的想知道的BF=EF=$\frac{1}{2}$BE=2，根据勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：由旋转可知OE=OD，
∴∠ODE=∠OED，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC
∴OB=OE，
∴∠OEB=∠OBE，
∵∠BDE+∠DBE+∠BED=180°，
∴∠ODE+∠OED+∠OEB+∠OBE=180°
∴∠OED+∠OEB=90°，
即∠DEB=90°，
∴DE⊥BC；

（2）解：∵OE⊥CD，
∴∠CHE=90°，
∴∠CDE+∠OED=90°
∵∠OED+∠OEB=90°，
∴∠CDE=∠OEB
∵∠OEB=∠OBE，
∴∠CDE=∠OBE，
∵∠CDE=∠OBE，∠CED=∠DEB，
∴△CDE∽△DBE
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{CE}{DE}$，即CE•BD=CD•DE，
∵OE=OD，OB=OD，BD=OB+OD，
∴BD=2OE，
∴2CE•OE=CD•DE；

（3）解：∵BC=3，CE=1，
∴BE=4
由（2）知，△CDE∽△DBE
∴$\frac{CE}{DE}$=$\frac{DE}{BE}$，即DE²=CE•BE=4，
∴DE=2，
过点O作OF⊥BE，垂足为F，
∵OB=OE，
∴BF=EF=$\frac{1}{2}$BE=2，
∴CF=EF-CE=1
∵OB=OD，BE=EF，
∴OF=$\frac{1}{2}$DE=1，
在Rt△OCF中，OC=$\sqrt{O{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AC=2OC=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．