Question

15．如图，G是△ABC的重心，延长AD，使得DH=GD，K为BG中点．求证：△FKG∽△GHC．

Answer 1

分析 先由三角形重心的定义得出BF=FA，BD=DC，又K为BG中点，那么FK是△ABG的中位线，得出FK∥AG，根据平行线的性质得出∠KFG=∠HGC，∠FKG=∠BGD．再利用SAS证明△BDG≌△CDH，得出∠BGD=∠H，等量代换得到∠FKG=∠H．然后根据两角对应相等的两三角形相似即可证明△FKG∽△GHC．

解答 证明：∵G是△ABC的重心，
∴AD、CF是△ABC的中线，
∴BF=FA，BD=DC，
∵K为BG中点，即BK=BG，
∴FK∥AG，
∴∠KFG=∠HGC，∠FKG=∠BGD．
在△BDG与△CDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDG=∠CDH}\\{DG=DH}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△CDH，
∴∠BGD=∠H，
∴∠FKG=∠H．
在△FKG与△GHC中，
∠KFG=∠HGC，∠FKG=∠H，
∴△FKG∽△GHC．

点评 本题考查了相似三角形的判定，三角形的重心，三角形的中位线，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，能够证明∠KFG=∠HGC，∠FKG=∠H是解题的关键．