Question

【题目】已知，点不在同一条直线上，

（1）如图①，当时，求的度数；

（2）如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系；

（3）如图③，在（2）的前提下且，，直接写的值

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）2∠AQB+∠C=180°；（3）∠DAC=60°，∠ACB=120°，∠CBE=120°.

【解析】

（1）过点C作CF∥AD，则CF∥BE，根据平行线的性质可得出∠ACF=∠A、∠BCF=180°-∠B，将其代入∠ACB=∠ACF+∠BCF即可求出∠ACB的度数；

（2）过点Q作QM∥AD，则QM∥BE，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出∠AQB=(∠CBE-∠CAD)，结合（1）的结论可得出2∠AQB+∠C=180°；

（3）由（2）的结论可得出∠CAD=∠CBE①，由QP⊥PB可得出∠CAD+∠CBE=180°②，联立①②可求出∠CAD、∠CBE的度数，再结合（1）的结论可得出∠ACB的度数.

解：（1）在图①中，过点C作CF∥AD，则CF∥BE．

∵CF∥AD∥BE，

∴∠ACF=∠A，∠BCF=180°-∠B，

∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=180°-（∠B-∠A）=180°-(118°-58°)=120°．

（2）在图2中，过点Q作QM∥AD，则QM∥BE．

∵QM∥AD，QM∥BE，

∴∠AQM=∠NAD，∠BQM=∠EBQ．

∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，

∴∠NAD=∠CAD，∠EBQ=∠CBE，

∴∠AQB=∠BQM-∠AQM=(∠CBE-∠CAD)．

∵∠C=180°-(∠CBE-∠CAD)=180°-2∠AQB，

∴2∠AQB+∠C=180°．

（3）∵AC∥QB，

∴∠AQB=∠CAP=∠CAD，∠ACP=∠PBQ=∠CBE，

∴∠ACB=180°-∠ACP=180°-∠CBE．

∵2∠AQB+∠ACB=180°，

∴∠CAD=∠CBE．

又∵QP⊥PB，

∴∠CAP+∠ACP=90°，即∠CAD+∠CBE=180°，

∴∠CAD=60°，∠CBE=120°，

∴∠ACB=180°-（∠CBE-∠CAD）=120°，

故∠DAC=60°，∠ACB=120°，∠CBE=120°.