Question

某玩具批发商销售每件进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每件50元的价格销售，平均每天销售90件，单价每提高1元，平均每天就少销售3件．
（1）平均每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式为　       　；
（2）求该批发商平均每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（3）物价部门规定每件售价不得高于55元，当每件玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元？

Answer 1

（1）﹣3x+240；
（2）﹣3x²+360x﹣9600；
（3）每件玩具的销售价为55元时，可获得1125元的最大利润

试题分析：（1）平均每天销售量y=原来的销售量90﹣3×相对于50元的单价提高的价格；
（2）销售利润W=单价的利润×平均每天的销售量，代入即可得出W与x的函数关系式．
（3）根据题中所给的自变量的取值，结合（2）得到的关系式，即可求得二次函数的最值．
解：（1）由题意得：y=90﹣3（x﹣50）=﹣3x+240；
（2）W=（x﹣40）（﹣3x+240）=﹣3x²+360x﹣9600；
（3）y=﹣3x²+360x﹣9600=﹣3（x﹣60）²+1200，
故当x=60时，y取最大值1200，
∵x=60是二次函数的对称轴，且开口向下，
∴当x＜60时，y随x的增大而增大，
∵规定每件售价不得高于55元，
∴当x=55时，W取得最大值为1125元，
即每件玩具的销售价为55元时，可获得1125元的最大利润．
点评：本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常用函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=﹣时取得．