某公司生产的某种时令商品每件成本为20元.经过市场调研发现.这种商品在未来40天内的日销售量的关系如下表:时间(天)1361036-日销售量(件)9490847624-未来40天内.前20天每天的价格y1的函数关系是y1=$\frac{1}{4}t+25$.后20天每天的价格y2的函数关系是y2=-$\frac{1}{2}t+40$．(1)认真分析上表中的数量关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

10．某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与时间（天）的关系如下表：

时间（天）	1	3	6	10	36	…
日销售量（件）	94	90	84	76	24	…

未来40天内，前20天每天的价格y₁（元/件）与时间t（天）的函数关系是y₁=$\frac{1}{4}t+25$（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y₂（元/件）与时间t（天）的函数关系是y₂=-$\frac{1}{2}t+40$（21≤t≤40且t为整数）．
（1）认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的只是确定一个满足这些数据之间的函数关系式；
（2）请预测未来40天的哪一天销售利润最大？最大日销售的利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，该公司决定销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围．

分析（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式，运用待定系数法求出即可；
（2）日利润=日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值范围

解答解：（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式，
设一次函数为y=kt+b，
将（36，24）和（10，76）代入一次函数y=kt+b中，
有$\left\{\begin{array}{l}{36k+b=24}\\{10k+b=76}\end{array}\right.$，
解得：
$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=96}\end{array}\right.$．
故所求函数解析式为y=-2t+96；
（2）设销售利润为W，
则W=$\left\{\begin{array}{l}{（-2t+96）（\frac{1}{4}t+25-20）（1≤t≤20）}\\{（-2t+96）（-\frac{1}{2}t+40-20）（21≤t≤40）}\end{array}\right.$
配方得
W=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}（t-14）^{2}+578（1≤t≤20）}\\{（t-44）^{2}-16（21≤t≤40）}\end{array}\right.$，
当1≤t≤20，t=14时W_最大=578，
当21≤t≤40时，W随x增大而减小，故当t=21时，W_最大=513，
综上知，当t=14时，利润最大，最大利润是578元．
（3）由题意得：
W=（-2t+96）（$\frac{1}{4}$t+5-a）（1≤t≤20）
配方得：
W=-$\frac{1}{2}$[t-2（a+7）]²+2（a-17）²（1≤t≤20），
因为t为整数，所以函数图象是为20个分布在抛物线上的散点，要使日销售利润随时间t增大而增大，则要求对称轴14+2a＞19.5，解得a≥2.75；
又题目要求a＜4，
故2.75≤a＜4．

点评此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．

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