Question

如果一个多边形的各条边相等，各个角相等，那么这样的多边形叫做正多边形．当这样的多边形边数为n时，叫正n边形，如n=3时称为正三角形或等边三角形，n=4时称为正方形．
（1）春节期间，某单位要在正三角形花台的三边上摆放花盆，每边上的花盆个数为m，花盆总数为S．其摆放情况如图1：
按如此规律摆下去，当m=2010时，花盆的总数为多少？
（2）如果我们要设计一组等边三角形花台，其边长依次为1，3，6，10，15，21，…（单位：米），按照如此规律，第n个三角形花台与第（n-1）（n≥2）个三角形花台周长的差为多少？
（3）作出如图2一组正方形，边长分别为1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个正方形开始，每一个正方形的边长都等于它前面两个正方形边长之和：
现分别依次从左到右取2个，3个，4个，5个，…，正方形拼成如图3矩形，并记为①②③④…．
若按此规律继续作矩形，请求出序号为⑩的矩形的周长和面积（如果表示面积的数据太大，可列出式子，不必计算出最后结果）．

Answer 1

分析：（1）直接观察图形进行解答，并从中发现规律：当每条边有n盆花时，S=3m-3，代入数据即可求解；
（2）先根据题意得出通项公式a_n=

n(n+1)

2

，然后计算即可；
（3）按照前一个长方形的长是后一个长方形的宽，长与宽的和是后一个长方形的长，依次进行计算即可得解．

解答：解：（1）依题意得：①m=2，S=3=3×2-3．
②m=3，S=6=3×3-3．
③m=4，S=9=3×4-3
④m=10，S=27=3×10-3．
…
⑤按此规律推断，当每条边有m盆花时，S=3m-3．
当n=2010时，S=3×2010-3=6027；
（2）观察数据发现第n个数为

n(n+1)

2

，第n-1个数据为

(n-1)n

2

，
故

n(n+1)

2

-

(n-1)n

2

=n，周长差为3n；
（3）序号为⑤的长方形周长为2（8+13）=42，面积为：8×13
序号为⑥的长方形周长为2（13+21）=68，面积为：12×21；
序号为⑦的长方形周长为2（21+34）=110，面积为：21×34；
序号为⑧的长方形周长为2（34+55）=178，面积为：34×55；
序号为⑨的长方形周长为2（55+89）=288．面积为55×89
序号为⑩的长方形周长为2（89+144）=466．面积为89×144；

点评：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．