精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
(2004•东城区)如图,直线y=-x+分别与x轴、y轴交于点A、B,⊙E经过原点O及A、B两点.
(1)C是⊙E上一点,连接BC交OA于点D,若∠COD=∠CBO,求点A、B、C的坐标;
(2)求经过O、C、A三点的抛物线的解析式;
(3)若延长BC到P,使DP=2,连接AP,试判断直线PA与⊙E的位置关系,并说明理由.

【答案】分析:(1)可根据直线AB的解析式求出A、B两点的坐标,即可得出OB、OA、AB的长,已知了∠COD=∠CBD,那么C就是弧AO的中点,如果连接EC,根据垂径定理可得出EC⊥OA,设垂足为N,那么ON=OA,而NC可通过EC-EN求得(EN是OB的一半),由此可得出C点坐标;
(2)已知了O、A、C三点坐标,可用待定系数法求出抛物线的解析式;
(3)根据OA、OB的长,不难得出∠ABO=60°,那么∠ABP=∠OBP=30°,因此可得出∠ODB=∠ADP=60°,在直角三角形OBD中,可根据OB的长和∠OBD的正切值求出OD的长,即可求出AD的长为2,因此AD=DP,那么三角形ADP就是等边三角形,在三角形ABP中,∠ABP=30°,∠P=60°,因此∠BAP=90°即可证得PA与圆E相切.
解答:解:(1)连接EC交x轴于点N(如图).
∵A、B是直线y=-x+分别与x轴、y轴的交点.
∴A(3,0),B(0,).
又∵∠COD=∠CBO,
∴∠CBO=∠ABC.
∴C是的中点,
∴EC⊥OA.
∴ON=OA=,EN=
连接OE.
∴EC=OE=
∴NC=EC-EN=
∴C点的坐标为();

(2)设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为y=ax(x-3).
∵C(),
∴-=a•-3).
∴a=
∴y=x2-x为所求;

(3)∵tan∠BAO=
∴∠BAO=30°,∠ABO=60°.
由(1)知∠OBD=∠ABD.
∴∠OBD=∠ABO=×60°=30°.
∴OD=OB•tan30°=1.
∴DA=2.
∵∠ADC=∠BDO=60°,PD=AD=2.
∴△ADP是等边三角形.
∴∠DAP=60°.
∴∠BAP=∠BAO+∠DAP=30°+60°=90°.
即PA⊥AB.
即直线PA是⊙E的切线.
点评:本题考查了圆周角定理、垂径定理、二次函数解析式的确定、切线的判定等知识.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:2010年上海市徐汇区中考数学一模试卷(解析版) 题型:选择题

(2004•东城区)抛物线y=(x+2)2+1的顶点坐标是( )
A.(2,1)
B.(-2,1)
C.(2,-1)
D.(-2,-1)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2004年全国中考数学试题汇编《二次函数》(01)(解析版) 题型:选择题

(2004•东城区)抛物线y=(x+2)2+1的顶点坐标是( )
A.(2,1)
B.(-2,1)
C.(2,-1)
D.(-2,-1)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2009年内蒙古赤峰市克什克腾旗九年级下学期数学模拟试卷(解析版) 题型:选择题

(2004•东城区)抛物线y=(x+2)2+1的顶点坐标是( )
A.(2,1)
B.(-2,1)
C.(2,-1)
D.(-2,-1)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2004年北京市东城区中考数学试卷(解析版) 题型:选择题

(2004•东城区)抛物线y=(x+2)2+1的顶点坐标是( )
A.(2,1)
B.(-2,1)
C.(2,-1)
D.(-2,-1)

查看答案和解析>>

同步练习册答案