分析 (1)当t<4时,由题意A(3,0),B(0,4),OA=3,OB=4,在Rt△AOB中,AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5,由OC=BD=t,可得BC=4-t,AD=5-t;
(2)如图1中,当t=4时,点C与B重合,易知E($\frac{6}{5}$,$\frac{12}{5}$),想办法求出直线EF的解析式即可解决问题;
(3)①分三种情形讨论求解即可.
②如图5中,易知点E的运动轨迹是图中线段HE,H是OA中点,求出点E、H两点坐标,利用两点间距离公式求解即可;
解答 解:(1)当t<4时,由题意A(3,0),B(0,4),OA=3,OB=4,
在Rt△AOB中,AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5,
∵OC=BD=t,
∴BC=4-t,AD=5-t.
(2)如图1中,当t=4时,点C与B重合,易知E($\frac{6}{5}$,$\frac{12}{5}$),
∵EG⊥AD,
∴直线EG的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+b,把($\frac{6}{5}$,$\frac{12}{5}$)代入得到b=$\frac{3}{2}$,
∴直线FG的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$,令y=0,得到x=-2,
∴点G坐标为(-2,0).
(3)①a、如图2中,当直线FG经过点B时,
在Rt△BOC中,OC=t,BO=3,BC=BD=5-t,
∴(5-t)2=t2+32,
解得t=$\frac{8}{5}$.
b、如图3中,当FG经过点A时,
∵AD=AC,
∴4-t=t,
∴t=2.
C、如图4中,当直线FG经过点O时,
易证OC=OD=AD=BD,
∴t=$\frac{5}{2}$,
综上所述,当直线FG经过△ABO的顶点时,出t的值为$\frac{8}{5}$s或2s或$\frac{5}{2}$s.
②如图5中,易知点E的运动轨迹是图中线段HE,H是OA中点,
由题意E($\frac{3}{2}$,$\frac{5}{2}$),H(0,2),
∴EH=$\sqrt{(\frac{3}{2})^{2}+(2-\frac{5}{2})^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$.
点评 本题考查一次函数综合题、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、两点间距离公式、两直线垂直的条件等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.
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A. | ($\sqrt{2}$)2016倍 | B. | ($\sqrt{3}$)2017倍 | C. | ($\sqrt{3}$)2018倍 | D. | ($\sqrt{2}$)2019倍 |
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