Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CF=AD；
（2）若AD=3，AB=8，当BC=

 

时，点B在线段AF的垂直平分线上．

Answer 1

分析：（1）通过求证△FEC≌△AED来证明CF=AD；
（2）若点B在线段AF的垂直平分线上，则应有AB=BF，又AB=8，CF=AD=3，BC=BF-CF．

解答：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠F=∠DAE．（1分）
又∵∠FEC=∠AED，
∴∠ECF=∠ADE，
在△FEC与△AED中，

∠FEC=∠AED CE=DE ∠ECF=∠ADE

，
∴△FEC≌△AED，
∴CF=AD．

（2）解：当BC=5时，点B在线段AF的垂直平分线上，
其理由是：∵BC=5，AD=3，AB=8，
∴AB=BC+AD，
又∵CF=AD，BC+CF=BF，
∴AB=BF，
∴△ABF是等腰三角形，
故可得点B在AF的垂直平分线上．

点评：本题考查了梯形的知识，利用了：（1）梯形的性质，（2）全等三角形的判定和性质，（3）中垂线的性质，难度一般．