Question

10．如图在矩形OABC中，OA=5，OC=6，反比例函数的图象与AB、BC分别交于点E、F，且AE＜EB，△OEF与△BEF的面积之差等于5$\frac{11}{30}$，求此反比例函数的解析式．

Answer 1

分析 设反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$（k＞0），根据反比例函数系数k的几何意义得出$\frac{1}{2}$OC•CF=$\frac{1}{2}$OA•AE=$\frac{1}{2}$k，从而求得CF=$\frac{k}{6}$，AE=$\frac{k}{5}$，得出BF=5-$\frac{k}{6}$，BE=6-$\frac{k}{5}$，即可得出△BEF的面积=$\frac{1}{2}$（5-$\frac{k}{6}$）（6-$\frac{k}{5}$），进而根据题意得出△OEF的面积=$\frac{1}{2}$（5-$\frac{k}{6}$）（6-$\frac{k}{5}$）+5$\frac{11}{30}$，然后根据矩形的面积等于四个三角形的面积的和表示为$\frac{1}{2}$k+$\frac{1}{2}$k+$\frac{1}{2}$（5-$\frac{k}{6}$）（6-$\frac{k}{5}$）+$\frac{1}{2}$（5-$\frac{k}{6}$）（6-$\frac{k}{5}$）+5$\frac{11}{30}$=5×6，整理为k²-30k+161=0，解方程即可求得．

解答 解：设反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$（k＞0），
∵$\frac{1}{2}$OC•CF=$\frac{1}{2}$OA•AE=$\frac{1}{2}$k，
∴6CF=5AE=k，
∴CF=$\frac{k}{6}$，AE=$\frac{k}{5}$，
∴BF=5-$\frac{k}{6}$，BE=6-$\frac{k}{5}$，
∴△BEF的面积=$\frac{1}{2}$（5-$\frac{k}{6}$）（6-$\frac{k}{5}$），
∵△OEF与△BEF的面积之差等于5$\frac{11}{30}$，
∴△OEF的面积=$\frac{1}{2}$（5-$\frac{k}{6}$）（6-$\frac{k}{5}$）+5$\frac{11}{30}$，
∴矩形OABC的面积=$\frac{1}{2}$k+$\frac{1}{2}$k+$\frac{1}{2}$（5-$\frac{k}{6}$）（6-$\frac{k}{5}$）+$\frac{1}{2}$（5-$\frac{k}{6}$）（6-$\frac{k}{5}$）+5$\frac{11}{30}$=5×6，
整理得：k²-30k+161=0，
解得k₁=23，k₂=7，
∵AE＜EB，OA=5，
∴k=23，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{23}{x}$．

点评 本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义以及矩形的面积、三角形的面积等，表示出三角形的面积是解题的关键．