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26、已知:如图,△ABC是⊙O的内接三角形,点P是劣弧BC上一点(端点除外),∠APB=∠APC=60°.延长BP至D,使BD=AP,连接CD.
(1)求证:△ABC是等边三角形;
(2)若AP过圆心O,如图①,请你判断△PDC是什么三角形?并说明理由.
(3)若AP不过圆心O,如图②,请你判断△PDC是什么三角形?并说明理由.
分析:(1)由圆周角定理可得到∠ABC=∠APC=60°,∠ACB=∠APB=60°,由此可判定△ABC是等边三角形;
(2)通过证△BCD≌△ACP,可得∠APC=∠D=60°;根据圆内接四边形的外角等于它的内对角可得∠DPC=∠BAC=60°,由此可得到△PDC是等边三角形的结论.
(3)由(2)的解题思路知:△PDC的形状与AP是否为直径无关,故结论与(2)相同.
解答:解:(1)证明:∵∠ABC=∠APC=60°,∠ACB=∠APB=60°,
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°;
∴△ABC是等边三角形;

(2)△PDC是等边三角形;理由如下:
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC;
又∵∠CAP=∠CBP,BD=AP,
∴△BCD≌△ACP;
∴∠APC=∠D=60°;
∵四边形ABPC内接于⊙O,
∴∠DPC=∠BAC=60°;
∴∠D=∠DPC=∠DCP=60°;
∴△PDC是等边三角形;

(3)△PDC是等边三角形,理由同(2).
点评:此题主要考查了等边三角形的判定和性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质.能够通过全等三角形得到∠D=60°是解答此题的关键.
练习册系列答案
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