Question

3．已知关于x的方程mx²-3（m-1）x+2m-3=0的两个实数根互为相反数，令二次函数y₁=mx²-3（m-1）x+2m-3，一次函数y₂=2x-2．若二次函数y₃=ax²+bx+c的图象经过点（-5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y₁≥y₃≥y₂均成立，求二次函数y₃=ax²+bx+c的解析式．

Answer 1

分析 先根据二次函数的两个实数根互为相反数求出m的值，根据y₁-y₂的值然后综合运用完全平方式和非负数的性质进行证明，y₁、y₂的交点为（1，0），由于y₁≥y₃≥y₂成立，即三个函数都交于（1，0），结合点（-5，0）的坐标，可用a表示出y₃的函数解析式；已知y₃≥y₂，可用作差法求解，令y=y₃-y₂，可得到y的表达式，由于y₃≥y₂，所以y≥0，可据此求出a的值，即可得到抛物线的解析式．

解答 解：∵关于x的方程mx²-3（m-1）x+2m-3=0的两个实数根互为相反数，
∴x₁+x₂=$\frac{3（m-1）}{m}$=0，m≠0，
∴m-1=0，即m=1．
∴二次函数y₁=x²-1．
∵y₁-y₂=（x²-1）-（2x-2）=x²-1-2x+2=x²-2x+1=（x-1）²≥0，
∴y₁≥y₂，
∴当x=1时，y₁=y₂．
∵y₁≥y₃≥y₂，
∴二次函数y₃=ax²+bx+c的图象过点（1，0），
∴y₃=a（x-1）（x+5）=ax²+4ax-5a．
设y=y₃-y₂=ax²+4ax-5a-（2x-2）=ax²+（4a-2）x+（2-5a）．
∵对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y₁≥y₃≥y₂均成立，
∴y₃-y₂≥0，
∴y=ax²+（4a-2）x+（2-5a）≥0．
∴二次函数y₁，二次项系数大于0，
∴a＞0，
∴y_最小=$\frac{4a（2-5a）-（4a-2）^{2}}{4a}$．
∴（4a-2）²-4a（2-5a）≤0，
∴（3a-1）²≤0，而（3a-1）²≥0．只有3a-1=0，解得a=$\frac{1}{3}$．
∴抛物线的解析式为y₃=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x-$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式，熟知利用作差法比较两函数值的大小是解答此题的关键．