Question

如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，△ABO是直角三角形，∠ABO=90°，点B的坐标为（-1，2），将△ABO绕原点O顺时针旋转90°得到△A₁B₁O．
（1）在旋转过程中，点B所经过的路径长是多少？
（2）分别求出点A₁，B₁的坐标；
（3）连接BB₁交A₁O于点M，求M的坐标．

Answer 1

分析：（1）在旋转过程中，点B所经过的路径长是一段弧长．但要计算弧长就要求出圆心角和半径，所以根据点B的坐标为（-1，2）．可知OB=

5

，旋转的角度是90度．利用弧长公式计算即可．
（2）根据旋转的性质即可得出B₁的坐标应该是（2，1），根据B₁的坐标，我们不难得出∠B₁OA₁的余弦值应该是

5

5

，而OB₁=

5

，因此OA₁=5即A₁的坐标是（0，5）．
（3）可根据B，B₁的坐标用待定系数法求出BB₁所在直线的函数关系式，进而可求出M点的坐标．

解答：解：
（1）∵点B的坐标为（-1，2），
根据勾股定理可知OB=

5

，
根据弧长公式可得

90π× 5

180

=

5

2

π．

（2）作BD⊥AO于点D，
∵点B的坐标为（-1，2），
∴OD=1，BD=2，
∴BO=

5

，OA=5，
∴A₁（0，5），B₁（2，1）．

（3）设BB₁所在直线的解析式为y=kx+b，因为直线过B（-1，2），B₁（2，1），可得：

-k+b=2 2k+b=1

解得

k=- 1 3 b= 5 3

因此BB₁所在直线的解析式为y=-

1

3

x+

5

3

因此M的坐标应该是M（0，

5

3

）．

点评：本题主要考查了旋转的性质，弧长的计算公式以及用待定系数法求直线解析式等知识点的应用，根据旋转的性质求出各点的左边是解题的关键．