Question

如图，点C在BD上，在线段BD的同侧作等边△ABC和等边△CDE，AD、BE相交于点F．

（1）求证：BE=AD；
（2）求∠AFB的度数；
（3）设BE与AC交于点M，CE与AD交于点N，连接MN，试判断△MCN的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）证明见解析;（2）∠AFB=60°;（3）△MCN是等边三角形, 证明见解析.

试题分析：（1）证明线段相等的常用方法是三角形的全等,而包括线段BE和线段AD的三角形为△BCE和△ACD，下面就找全等的条件,因为△ABC和△CDE是等边三角形，所以BC="AC,CE=CD," ∠ACB=∠DCE= 60°,所以∠ACE=60°, ∠BCE=∠ACD= 120°,所以在△BCE和△ACD中，BC="AC," ∠BCE=∠ACD CE=
CD,所以△BCE≌△ACD,所以BE="AD;" （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和,由题, ∠AFB是△BFD的一个外角,所以∠AFB=∠CBE+∠ADC,有(1)知△BCE≌△ACD,所以∠CBE=∠CAD,所以∠AFB
=∠CBE+∠ADC=∠CAD+∠ADC=∠ACB=60°(∠ACB是△ACD的一个外角);（3）直观上看△MCN是等边三角形,由(1)知∠MCN=60°,只要证明MC=NC,包含这两条线段的三角形有△BCM和△ACN,由(2)知, ∠CBE=∠CAD,BC="AC," ∠ACB=∠ACN= 60°,所以△BCM≌△CAN,所以MC=NC.
试题解析：（1）∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴BC="AC,CE=CD," ∠ACB=∠DCE= 60°,
∴∠ACE=60°, ∠BCE=∠ACD= 120°,
在△BCE和△ACD中，BC="AC," ∠BCE=∠ACD CE=CD,
∴△BCE≌△ACD,
∴BE="AD;"
（2）∠AFB是△BFD的一个外角,
∴∠AFB=∠CBE+∠ADC,
有(1)知△BCE≌△ACD,
∴∠CBE=∠CAD,
∴∠AFB=∠CBE+∠ADC=∠CAD+∠ADC=∠ACB=60°(∠ACB是△ACD的一个外角);
（3）由(2)知, 在△BCM和△CAN中,∠CBE=∠CAD,BC="AC," ∠ACB=∠ACN= 60°,
∴△BCM≌△CAN,
∴MC=NC,
由(1)知∠MCN=60°,
∴△MCN是等边三角形