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【题目】如图,二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0,1)和C(4,3)两点,与x轴交于点D、点E,过点B和点C的直线与x轴交于点A.

(1)求二次函数的解析式;

(2)在x轴上有一动点P,随着点P的移动,存在点P使PBC是直角三角形,请你求出点P的坐标;

(3)若动点P从A点出发,在x轴上沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动,同时动点Q也从A点出发,以每秒a个单位的速度沿射线AC运动,是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与ABD相似?若存在,直接写出a的值;若不存在,说明理由.

【答案】(1)抛物线解析式y=x2x+1;(2)P坐标为(1,0),(3,0),(,0),(,0);(3)a=

【解析】

(1) 将B、C两点坐标代入二次函数解析式,通过联立方程组可求得b、c的值,进而求出函数解析式;

(2)Px0),由△PBC是直角三角形,分∠CBP=90°与∠BPC=90°两种情况讨论,运用勾股定理可得x的值,进而得到P点坐标;

(3)假设成立有△APQ∽△ADB或△APQ∽△ABD,则对应边成比例,可求出a的值.

(1)∵二次函数y=0.5x2+bx+c的图象过点B(0,1)和C(4,3)两点,

,解得

∴抛物线解析式y=x2x+1.

(2)设点P坐标为(x,0).

∵点P(x,0),点B(0,1),点C(4,3),

∴PB==

CP= =

BC= =2

若∠BCP=90°,则BP2=BC2+CP2

∴x2+1=20+x2–8x+25,∴x=

若∠CBP=90°,则CP2=BC2+BP2

∴x2+1+20=x2–8x+25,∴x=

若∠BPC=90°,则BC2=BP2+CP2

∴x2+1+x2–8x+25=20,

∴x1=1,x2=3,

综上所述:点P坐标为(1,0),(3,0),(,0),(,0).

(3)a=

∵抛物线解析式y=x2x+1x轴交于点D,点E,

∴0=x2x+1,∴x1=1,x2=2,∴点D(1,0).

∵点B(0,1),C(4,3),

∴直线BC解析式y=x+1.

y=0时,x=–2,∴点A(–2,0).

∵点A(–2,0),点B(0,1),点D(1,0),

∴AD=3,AB=

设经过t秒,∴AP=2t,AQ=at,

若△APQ∽△ADB,

,即,∴a=

若△APQ∽△ABD,∴,即,∴a=

综上所述:a=

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等级

人数

A

m

B

20

C

n

D

10

请根据统计图表中的信息解答下列问题:

(1)这次共抽取了________名参加演讲比赛的学生,统计图中a________b________

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