【题目】在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为r(r>0).给出如下定义:若平面上一点P到圆心O的距离d,满足,则称点P为⊙O的“随心点”.
(1)当⊙O的半径r=2时,A(3,0),B(0,4),C(﹣,2),D(,﹣)中,⊙O的“随心点”是_____;
(2)若点E(4,3)是⊙O的“随心点”,求⊙O的半径r的取值范围;
(3)当⊙O的半径r=2时,直线y=x+b(b≠0)与x轴交于点M,与y轴交于点N,若线段MN上存在⊙O的“随心点”,直接写出b的取值范围.
【答案】(1)A,C;(2);(3)或.
【解析】
(1)由可求出d的范围是,再根据各点距离O点的距离,从而判断是否在此范围内即可;
(2)由点E的坐标求出d=5,可根据E是⊙O的“随心点”, ,可求出r的范围;
(3)如图,a∥b∥c∥d,⊙O的半径r=2,可求出,分两种情况,当点N在y轴正半轴时,当点N在y轴负半轴时,求出答案即可.
解:(1)∵⊙O的半径r=2,
∴r=1,r=3,
∵,
∴,
∵A(3,0),
∴OA=3,在范围内,
∴点A是⊙O的“随心点”,
∵B(0,4),
∴OB=4,而4>3,不在范围内,
∴B不是⊙O的“随心点”,
∵C(-,2),
∴OC=,在范围内,
∴点C是⊙O的“随心点”,
∵D(,-),
∴OD=,不在范围内,
∴点D不是⊙O的“随心点”,
故答案为:A,C
(2)∵点E(4,3),
∴OE=,即d=5,
∵点E(4,3)是⊙O的“随心点”,
∴,
解得;
(3)如图a∥b∥c∥d,
∵⊙O的半径r=2,随心点范围,
∴,
∵直线MN的解析式为y=x+b,
∴x=0时,y=b;y=0时,x=-b,
∴OM=ON,
∴直线MN与y轴夹角为45°,
①点N在y轴正半轴时,
当点M是⊙O的“随心点”,此时,点M(-1,0),
将M(-1,0)代入直线MN的解析式y=x+b中,0=-1+b,
解得,b=1,
∴b的最小值为1,
过点O作OG⊥M'N'于G,
当点G是距离⊙O最远的其中一个“随心点”时,此时OG=3,
在Rt△ON'G中,∠ON'G=45°,
∴GO=3
∴在Rt△GNN’中, ,
解得ON',
将N'(0,)代入直线MN的解析式y=x+b中,=b,
∴b的最大值为,
∴,
②当点N在y轴负半轴时,同①的方法得出,
综上所述,b的取值范围为或.
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【题目】某市体育中考现场考试内容有三项:50米跑为必测项目.另在立定跳远、实心球(二选一)和坐位体前屈、1分钟跳绳(二选一)中选择两项.
(1)每位考生有_________种选择方案;
(2)求小明与小刚选择同种方案的概率.
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【题目】已知:⊙O的两条弦AB,CD相交于点M,且AB=CD.
(1)如图1,连接AD.求证:AM=DM.
(2)如图2,若AB⊥CD,在弧BD上取一点E,使弧BE=弧BC,AE交CD于点F,连AD、DE.
①利断∠E与∠DFE是否相等,并说明理由.
②若DE=7,AM+MF=17,求△ADF的面积.
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【题目】某区域为响应“绿水青山就是金山银山”的号召,加强了绿化建设.为了解该区域群众对绿化建设的满意程度,某中学数学兴趣小组在该区域的甲、乙两个片区进行了调查,得到如下不完整统计图.
请结合图中信息,解决下列问题:
(1)此次调查中接受调查的人数为多少人,其中“非常满意”的人数为多少人;
(2)兴趣小组准备从“不满意”的4位群众中随机选择2位进行回访,已知这4位群众中有2位来自甲片区,另2位来自乙片区,请用画树状图或列表的方法求出选择的群众来自甲片区的概率.
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【题目】学校为表彰在“了不起我的国”演讲比赛中获奖的选手,决定购买甲、乙两种图书作为奖品.已知购买30本甲种图书,50本乙种图书共需1350元;购买50本甲种图书,30本乙种图书共需1450元.
(1)求甲、乙两种图书的单价分别是多少元?
(2)学校要求购买甲、乙两种图书共40本,且甲种图书的数量不少于乙种图书数量的,请设计最省钱的购书方案.
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC为⊙O的直径,过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E,点F为CE的中点,连接DB,DC,DF.
(1)求∠CDE的度数;
(2)求证:DF是⊙O的切线;
(3)若AC=2DE,求tan∠ABD的值.
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【题目】为加快城乡对接,建设全域美丽乡村,某地区对A、B两地间的公路进行改建.如图,A、B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线AB行驶.已知BC=80千米,∠A=45°,∠B=30°.
(1)开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走多少千米?
(2)开通隧道后,汽车从A地到B地大约可以少走多少千米?(结果精确到0.1千米)(参考数据:≈1.41,≈1.73)
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【题目】如图,已知△ABC中,AB=AC,AD是角平分线,F为BA延长线上的一点,AE平分∠FAC,DE∥BA交AE于E.求证:四边形ADCE是矩形.
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【题目】如图,ABCD中,E为AD的中点,直线BE、CD相交于点F.连接AF、BD.
(1)求证:AB=DF;
(2)若AB=BD,求证:四边形ABDF是菱形.
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