Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r（r＞0）．给出如下定义：若平面上一点P到圆心O的距离d，满足，则称点P为⊙O的“随心点”．

（1）当⊙O的半径r＝2时，A（3，0），B（0，4），C（﹣，2），D（，﹣）中，⊙O的“随心点”是_____；

（2）若点E（4，3）是⊙O的“随心点”，求⊙O的半径r的取值范围；

（3）当⊙O的半径r＝2时，直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O的“随心点”，直接写出b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）A，C；（2）；（3）或．

【解析】

（1）由可求出d的范围是，再根据各点距离O点的距离，从而判断是否在此范围内即可；
（2）由点E的坐标求出d=5，可根据E是⊙O的“随心点”， ，可求出r的范围；
（3）如图，a∥b∥c∥d，⊙O的半径r=2，可求出，分两种情况，当点N在y轴正半轴时，当点N在y轴负半轴时，求出答案即可．

解：（1）∵⊙O的半径r=2，
∴r=1，r=3，

∵，
∴，
∵A（3，0），
∴OA=3，在范围内，
∴点A是⊙O的“随心点”，
∵B（0，4），
∴OB=4，而4＞3，不在范围内，
∴B不是⊙O的“随心点”，
∵C（-，2），
∴OC=，在范围内，
∴点C是⊙O的“随心点”，
∵D（，-），
∴OD=，不在范围内，
∴点D不是⊙O的“随心点”，
　故答案为：A，C
（2）∵点E（4，3），
∴OE=，即d=5，

∵点E（4，3）是⊙O的“随心点”，

∴，

解得；

（3）如图a∥b∥c∥d，

∵⊙O的半径r=2，随心点范围，
∴，
∵直线MN的解析式为y=x+b，

∴x=0时，y=b；y=0时，x=-b，
∴OM=ON，

∴直线MN与y轴夹角为45°，
①点N在y轴正半轴时，
当点M是⊙O的“随心点”，此时，点M（-1，0），
将M（-1，0）代入直线MN的解析式y=x+b中，0=-1+b，

解得，b=1，
∴b的最小值为1，
过点O作OG⊥M'N'于G，
当点G是距离⊙O最远的其中一个“随心点”时，此时OG=3，
在Rt△ON'G中，∠ON'G=45°，
∴GO=3
∴在Rt△GNN’中， ，

解得ON'，

将N'（0，）代入直线MN的解析式y=x+b中，=b，
∴b的最大值为，
∴，
②当点N在y轴负半轴时，同①的方法得出，

综上所述，b的取值范围为或．