Question

一条抛物线y=x²+mx+n经过点（0，3）与（4，3）．
（1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；
（2）现有一半径为1，圆心P在抛物线上运动的动圆，当⊙P与坐标轴相切时，求圆心P的坐标；
（3）⊙P能与两坐标轴都相切吗？如果不能，试通过上下平移抛物线y=x²+mx+n，使⊙P与两坐标轴都相切．（要说明平移方法）

Answer 1

解：（1）∵抛物线过（0，3）（4，3）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式是y=x²﹣4x+3，顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）设点P的坐标为（x₀，y₀），
当⊙P与y轴相切时，有|x₀|=1，
∴x₀=±1．
当x₀=1时，y₀=1²﹣4+3=0；
当x₀=﹣1，y₀=（﹣1）²﹣4（﹣1）+3=8．
此时，点P的坐标为P₁（1，0），P₂（﹣1，8）；
当⊙P与x轴相切时，有|y₀|=1，
∴y₀=±1．
当y₀=1时，x₀²﹣4x₀+3=1，
解得：x₀=2±；
当y₀=﹣1时，x₀²﹣4x₀+3=﹣1，
解得：x₀=2．
此时，点P的坐标为P₃（2﹣，1），P₄（2+，1），P₅（2，﹣1）．
综上所述，圆心P的坐标为：
P₁（1，0），P₂（﹣1，8），P₃（2﹣，1），P₄（2+，1），P₅（2，﹣1）；
（3）由（2）知，不能．
设抛物线y=x²﹣4x+3上下平移后的解析式为：y=（x﹣2）²﹣1+h，
若⊙P能与两坐标轴都相切，则|x₀|=|y₀|=1，
即x₀=y₀=1；或x₀=y₀=﹣1；或x₀=1，y₀=﹣1；或x₀=﹣1，y₀=1．
取x₀=y₀=1，代入y=（x﹣2）²﹣1+h，得h=1；
取x₀=﹣1，y₀=﹣1，代入y=（x﹣2）²﹣1+h，得h=﹣9；
取x₀=1，y₀=﹣1，代入y=（x﹣2）²﹣1+h，得h=﹣1；
取x₀=﹣1，y₀=1，代入y=（x﹣2）²﹣1+h，得h=﹣7．
∴将y=x²﹣4x+3向上平移1个单位，或向下平移9个单位，或向下平移1个单位，或向下平移7个单位，就可使⊙P与两坐标轴都相切．