Question

阅读下列材料并解答后面的问题：利用完全平方公式（a±b）²=a²±2ab+b²，通过配方可对a²+b²进行适当的变形，如a²+b²=（a+b）²-2ab或a²+b²=（a-b）²+2ab．从而使某些问题得到解决．例：已知a+b=5，ab=3，求a²+b²的值．
解：a²+b²=（a+b）²-2ab=5²-2×3=19．
问题：（1）已知a+

1

a

=6，则a²+

1

a2

=

 

；
（2）已知a-b=2，ab=3，求a⁴+b⁴的值．

Answer 1

分析：（1）把已知条件两边平方，然后整理即可求解；
（2）先根据a²+b²=（a-b）²+2ab求出a²+b²的值，然后根据所求结果a²b²=9同理即可求出a⁴+b⁴的值．

解答：解：（1）∵(a+

1

a

)2=a²+2

1

a2

∴a²+

1

a2

=(a+

1

a

)2-2=34；

（2）∵a-b=2，ab=3，
∴a²+b²=（a-b）²+2ab，
=4+2×3，
=10，
a²b²=9，
∴a⁴+b⁴=（a²+b²）²-2a²b²，
=100-2×9，
=82．

点评：本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式整理成已知条件的形式是求解的关键．