Question

【题目】在求1+2+22+23+24+25+26的值时，小明发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的2倍，于是他设：S=1+2+22+23+24+25+26 为①式，然后在①式的两边都乘以2，得：2S=2+22+23+24+25+26+27 为②式；②﹣ ①得2S﹣S=27﹣1，S=27﹣1，即1+2+22+23+24+25+26=27﹣1．

（1）求1+3+32+33+34+35+36的值；

（2）求1+a+a2+a3+…+a2016（a≠0且a≠1）的值．

Answer 1

【答案】（1）1093；（2）.

【解析】

（1）将1+3+32+33+34+35+36乘3，减去1+3+32+33+34+35+36，把它们的结果除以3-1=2即可求解；

（2）将1+a+a2+a3+…+a2016乘a，减去1+a+a2+a3+…+a2016，把它们的结果除以a-1即可求解．

解：（1）1+3+32+33+34+35+36

=[（1+3+32+33+34+35+36）×3-（1+3+32+33+34+35+36）]÷（3-1）

=[（3+32+33+34+35+36+37）-（1+3+32+33+34+35+36）]÷2

=（37-1）÷2

=2186÷2

=1093；

（2）1+a+a2+a3+…+a2016（a≠0且a≠1）

=[（1+a+a2+a3+…+a2016）×a-（1+a+a2+a3+…+a2016）]÷（a-1）

=[（a+a2+a3+…+a2016+a2017）-（1+a+a2+a3+…+a2016）]÷（a-1）

=（a2017-1）÷（a-1）

= ．