Question

已知：如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．若∠1=60°，AE=1．
（1）求∠2、∠3的度数；
（2）若长方形PQRS的顶点分别在AB、AE和BE上，试求正方形PQRS的边长．

Answer 1

分析：（1）根据AD∥BC，∠1与∠2是内错角，因而就可以求得∠2，根据图形的折叠的定义，可以得到∠BEF=∠2，进而就可以求的∠3的度数；
（2）根据四边形PQRS是正方形，得出在直角△QRE中，由（1）知∠3=60°，则∠EQR=30°，即可得出∠AQP=60°，∠APQ=30°，进而利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出关于AE的等式方程求出即可．

解答：解：（1）由AD∥BC，
∴∠2=∠1=60°；
又∠BEF=∠2=60°，
∴∠3=180-60-60=60°．

（2）∵四边形PQRS是正方形，得出在直角△QRE中，由（1）知∠3=60°，
则∠EQR=30°，
∴在直角△APQ中，∠AQP=90°-30°=60°，
∴∠APQ=90°-60°=30°；
设AQ=x，则PQ=2x，
∴QR=2x，故QE=

4 3

3

x，
∵AE=1，
∴AQ+QE=x+

4 3

3

x=1，
解得：x=

4 3 -3

13

，
∴QR=2×

4 3 -3

13

=

8 3 -6

13

．
∴正方形PQRS的边长为：

8 3 -6

13

．

点评：此题主要考查了图象的翻折变换以及正方形的性质，利用已知图形的折叠就是已知两个图形全等，要注意弄清题目中的已知条件得出∠BEF=∠2是解题关键．