Question

16、已知关于x的方程x²+（4k+1）x+2k-1=0．
（1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根；
（2）若x₁，x₂是方程的两个实数根，且（x₁-2）（x₂-2）=2k-3，求k的值．

Answer 1

分析：（1）需证得根的判别式恒为正值．
（2）（x₁-2）（x₂-2）=2k-3，即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=2k-3，依据根与系数的关系，列出关于k的方程求解则可．

解答：（1）证明：△=b²-4ac
=（4k+1）²-4（2k-1）
=16k²+8k+1-8k+4=16k²+5，
∵k²≥0，∴16k²≥0，∴16k²+5＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．

（2）解：根据题意，得x₁+x₂=-（4k+1），x₁x₂=2k-1，
∴（x₁-2）（x₂-2）=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4
=（2k-1）+2（4k+1）+4=2k-1+8k+2+4=10k+5
即10k+5=2k-3，
∴k=-1．

点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．