Question

12．已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（点D不与B，C重合）△ADF是以AD为边的等边三角形过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF
（1）如图1，若△ABC的边长是2，求△ADF的最小面积；
（2）如图1，求证：△AFB≌△ADC'；
（3）如图2，若D点在BC边的延长线上，其它条件不变，请判断四边形BCEF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意得到当AD⊥BC时，△ADF的面积最小，根据等边三角形的性质得到AD=$\sqrt{3}$，然后根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）利用有两条边对应相等并且夹角相等的两个三角形全等即可证明△AFB≌△ADC；
（3）根据等边三角形的性质得到AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，可得∠FAB=∠DAC，根据全等三角形的性质得到∠ABF=∠ADC，进而求得∠AFB=∠EAF，求得BF∥AE，又BC∥EF，从而证得四边形BCEF是平行四边形．

解答 解：（1）由题意得当AD⊥BC时，AD最小，即△ADF的面积最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=2，BD=CD=1，
∴AD=$\sqrt{3}$，
∵△ADF是等边三角形，
∴△ADF的最小面积=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$；

（2）∵△ABC和△ADF都是等边三角形，
∴AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，
又∵∠FAB=∠FAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，
∴∠FAB=∠DAC，
在△AFB和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AD}\\{∠BAF=∠CAD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△ADC（SAS）；

（3）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，
又∵∠FAB=∠FAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，
∴∠FAB=∠DAC，
在△AFB和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AD}\\{∠BAF=∠CAD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△ADC（SAS）；
∴∠AFB=∠ADC．
又∵∠ADC+∠DAC=60°，∠EAF+∠DAC=60°，
∴∠ADC=∠EAF，
∴∠AFB=∠EAF，
∴BF∥AE，
又∵BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形．

点评 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，熟练掌握性质、定理是解题的关键．