Question

如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，且AB=AC=4．P为AB上一点，过P作PE⊥AB分别BC、OA于E、F

 (1)设AP=1，求△OEF的面积．

 (2)设AP=a (0＜a＜2)，△APF、△OEF的面积分别记为S₁、S₂。

①若S₁=S₂，求a的值；

②若S= S₁+S₂，是否存在一个实数a，使S＜?

若存在，求出一个a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(1)BC是⊙O的直径，∠BAC=90°．

AB=AC．∠B=∠C=45°，OA⊥BC．∠B=∠1=45°．

    PE⊥AB，∠2=∠1=45°．∠4=∠3=45°．

    则△APF、△OEF与△OAB均为等腰直角三角形．

    AP=l，AB=4．AF=,OA=．

    OE=OF=．△OEF的面积为．

 (2)①PF=AP=a．．

且AF=．OE=OF=一= (2一a)，

，    ∵

∴

②

当时，S取得最小值为．∵．

∴不存在这样实数a，使S＜．