Question

已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，M是AC的中点，连接BM，CF⊥MB，F是垂足，延长CF交AB于点E．求证：∠AME=∠CMB．

Answer 1

分析：可以分两种作法：
（1）过A作CB的平行线交CE的延长线于点N．可证明△NAC≌△MCB以及△AME≌△ANE，从而得出∠AME=∠CMB；
（2）作∠ACB的平分线交BM于点N．可以证明△AEC≌△CNB以及△AME≌△CMN，即可得出∠AME=∠CMB．

解答：证明：
证法一：过A作CB的平行线交CE的延长线于点N．
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠NCB=90°
∵CF⊥MB
∴∠2+∠NCB=90°
∴∠1=∠2
∵AN∥BC且∠ACB=90°
∴∠NAC=90°
在△NAC和△MCB中

∠1=∠2 AC=CB ∠NAC=∠ACB

∴△NAC≌△MCB（A．S．A）
∴∠N=∠CMB
∵AN=MC
∵M是AB中点∴AM=MC=AN
∵∠ACB=90°AC=BC
∴∠3=∠ABC=45°
∵AN∥BC∴∠4=∠ABC
∴∠3=∠4
在△AME和△ANE中

AM=AN ∠3=∠4 AE=AE

，
∴△AME≌△ANE（S．A．S）
∴∠AME=∠N，
∵∠N=∠CMB
∴∠AME=∠CMB；

证法二：作∠ACB的平分线交BM于点N．                                                        
∵AC=BC∠ACB=90°
∴∠ABC=∠A=45°
∠MCE+∠BCE=90°
∴∠MCE=∠MBC＜∠ABC=45°
∴N点在线段BF上．
∵CN是∠ACB的平分线
∴∠ACN=∠BCN=45°
在△AEC和△CNB中

∠A=∠BCN AC=CB ∠ACE=∠MBC

∴△AEC≌△CNB
∴CN=AE
∵M是AB中点
∴AM=MC
在△AME和△CMN中

∠A=∠MCN CN=AE AM=MC

∴△AME≌△CMN，
∴∠AME=∠CMB．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，要注意一题多解．