Question

7．如图，在正方形ABCD中，点P是AB边上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE²+PF²=PO²；④△POF∽△BNF．其中正确的结论有3个．

Answer 1

分析 根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得∠PAE=∠MAE=45°，然后利用“角边角”证明△APE和△AME全等；根据全等三角形对应边相等可得AP=AM，从而判断出△APM是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得PM=$\sqrt{2}$AP，同理可得PN=$\sqrt{2}$PB，然后求出PM+PN=$\sqrt{2}$AB，再根据正方形的性质可得AC=$\sqrt{2}$AB，从而得到PM+PN=AC；判断出四边形PEOF是矩形，根据矩形的性质可得PF=OE，再利用勾股定理即可得到PE²+PF²=PO²；判断出△POF不一定等腰直角三角形，△BNF是等腰直角三角形，从而确定出两三角形不一定相似．

解答 解：（1）在正方形ABCD中，∠PAE=∠MAE=45°，
在△APE和△AME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAE=∠MAE}\\{AE=AE}\\{∠AEP=∠AEM=90°}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△AME（ASA），故①正确；
（2）∴AP=AM，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴PM=$\sqrt{2}$AP，
同理可得PN=$\sqrt{2}$PB，
∴PM+PN=$\sqrt{2}$AB，
又∵AC=$\sqrt{2}$AB，
∴PM+PN=AC，故②正确；
（3）∵PM⊥AC，PN⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形PEOF是矩形，
∴PF=OE，
在Rt△POE中，PE²+OE²=PO²，
∴PE²+PF²=PO²，故③正确；
（4）∵矩形PEOF不一定是正方形，
∴△POF不一定等腰直角三角形，
∵∠OBC=45°，BF⊥FN，
∴△BNF是等腰直角三角形，
∴△POF与△BNF相似不一定成立，故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③共3个．
故答案为：3．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关键．