Question

如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且A点的坐标为（

2

，0），点C、D分别在第一、三象限，且此一次函数与反比例函数图象交于C、D两点，又OA=OB=AC=BD．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）在y轴上是否存在点P，使△BCP为等腰直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的P点坐标（不用写出计算过程）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）作CE⊥x轴于E，由OA=OB可知△ACE是等腰直角三角形，OA=OB，且A（

2

，0），则B（0，-

2

）代入一次函数的解析式为y=kx+b可求直线AB的解析式，由AC=

2

，可求AE=CE=1，故C（1+

2

，1），代入反比例函数的解析式为y=

m

x

可求反比例函数的解析式；
（2）过C点作CP⊥y轴，或过c点作CP⊥AC，交y轴于P′，根据等腰直角三角形的性质可求满足条件的P点坐标．

解答：解：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），反比例函数的解析式为y=

m

x

（m≠O），
∵OA=OB，A（

2

，0），
∴B（0，-

2

），
∴可得：

2 k+b=0 b=- 2

，解得：

b=- 2 k=1

，
∴y=x-

2

，
作CE⊥x轴于E，则△ACE是等腰直角三角形，
∴AE=CE=

2

sin45°=1，
∴C（1+

2

，1），
∴1=

m

1+ 2

，解得m=1+

2

，
∴y=

1+ 2

x

；

（2）存在，P点坐标分别是（0，1）或（0，2+

2

）．

点评：本题考查了点的坐标的求解与一次函数、反比例函数关系式的确定方法．运用待定系数法是解题的关键．