Question

19．如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=6，CD=$6\sqrt{3}$，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线
翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是3$\sqrt{19}$-3．

Answer 1

分析 连接MC；过点M作ME⊥CD于E首先求出线段ME、DE的长度；运用勾股定理求出MC的长度，即可解决问题．

解答 解：如图，连接MC；过点M作ME⊥CD于E，
交CD的延长线于点E；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=6，
∵点M为AD的中点，∠BCD=30°，
∴DM=MA=3，∠MDE=∠BCD=30°，
∴ME=$\frac{1}{2}$DM=1.5，DE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴CE=CD+DE=$\frac{15\sqrt{3}}{2}$，
由勾股定理得：CM²=ME²+CE²，
∴CM=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{15\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=3$\sqrt{19}$；
由翻折变换的性质得：MA′=MA=3，
显然，当折线MA′C与线段MC重合时，
线段A′C的长度最短，此时A′C=3$\sqrt{19}$-3，
故答案为：3$\sqrt{19}$-3．

点评 本题考查了平行四边形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用平行四边形的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．