精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
(2002•黑龙江)如图,直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,OA、OB的长分别是关于x的方程x2-14x+4(AB+2)=0的两个根(OB>OA),P是直线l上A、B两点之间的一动点(不与A、B重合),PQ∥OB交OA于点Q.
(1)求tan∠BAO的值;
(2)若S△PAQ=S四边形OQPB时,请确定点P在AB上的位置,并求出线段PQ的长;
(3)当点P在线段AB上运动时,在y轴上是否存在点M,使△MPQ为等腰直角三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)根据勾股定理得出OA2+OB2=AB2,求出AB.然后把AB代入等式求出x的值继而求出OA,OB的值即可;
(2)已知S△PAQ=S四边形OQPB,证明△PQA∽△BOA利用线段比求出AB,AP的值.知道PQ=PA•sin∠BAO,即可求解.
解答:解:(1)∵OA、OB的长分别是关于x的方程x2-14x+4(AB+2)=0的两个根,
∴OA+OB=-=14,
由已知可得
又∵OA2+OB2=AB2
∴(OA+OB)2-2OA•OB=AB2
即142-8(AB+2)=AB2
∴AB2+8AB-180=0,
∴AB=10或AB=-18(不合题意,舍去),
∴AB=10,
∴x2-14x+48=0,
解得x1=6,x2=8,
∵OB>OA,∴OA=6,OB=8,
∴tan∠BAO=

(2)∵S△PAQ=S四边形OQPB
∴S△PAQ=S△AOB
∵PQ∥BO,
∴△PQA∽△BOA,

.∵AB=10,
∴AP=5,
又∵tan∠BAO=
∴sin∠BAO=
∴PQ=PA•sin∠BAO=

(3)存在,
设AB的解析式是y=kx+b,

解得:
则解析式是:y=-x+8,
即4x+3y=24(*)

①当∠PQM=90°时,由PQ∥OB且|PQ|=|MQ|此时M点与原点O重合,设Q(a,0)则P(a,a)
有(a,a)代入(*)得a=
②当∠MPQ=90°,
由PQ∥OB且|MP|=|PQ|设Q(a,0)则M(0,a),P(a,a)进而得a=
24
7

③当∠PMQ=90°,由PQ∥OB,|PM|=|MQ|且|OM|=|OQ|=|PQ|
设Q(a,0)则M(0,a)点P坐标为(a,2a)代入(*)得a=
12
5

综上所述,y轴上有三个点M1(0,0),M2(0,
24
7
)和M3(0,
12
5
)满足使△PMQ为等腰直角三角形.
点评:本题综合考查了一次函数的性质以及三角函数的有关知识,难度较大.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:2002年全国中考数学试题汇编《一次函数》(02)(解析版) 题型:填空题

(2002•黑龙江)某一次函数的图象经过点(-1,2),且函数y的值随自变量x的增大而减少,请写出一个符合上述条件的函数关系式:   

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2009年北京市顺义区中考数学一模试卷(解析版) 题型:填空题

(2002•黑龙江)某一次函数的图象经过点(-1,2),且函数y的值随自变量x的增大而减少,请写出一个符合上述条件的函数关系式:   

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2002年黑龙江省中考数学试卷(解析版) 题型:解答题

(2002•黑龙江)某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束全过程,开始时风暴平均每小时增加2千米/时,4小时后,沙尘暴经过开阔荒漠地,风速变为平均每小时增加4千米/时,一段时间,风暴保持不变,当沙尘暴遇到绿色植被区时,其风速平均每小时减小1千米/时,最终停止.结合风速与时间的图象,回答下列问题:
(1)在y轴( )内填入相应的数值;
(2)沙尘暴从发生到结束,共经过多少小时?
(3)求出当x≥25时,风速y(千米/时)与时间x(小时)之间的函数关系式;
(4)若风速达到或超过20千米/时,称为强沙尘暴,则强沙尘暴持续多长时间?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2002年黑龙江省中考数学试卷(解析版) 题型:填空题

(2002•黑龙江)若二次函数y=x2+bx+c的图象经过(-4,0),(2,6),则这个二次函数的解析式为   

查看答案和解析>>

同步练习册答案