Question

小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车吊臂的支点O距离地面的高OO′=2米．OA=10米，当吊臂顶端由A点抬升至A′点（吊臂长度不变）时，地面B处的重物（大小忽略不计）被吊至B′处，紧绷着的吊缆A′B′=AB．且cosA=，sinA′=．
（1）求此重物在水平方向移动的距离及在竖直方向移动的距离；
（2）若这台吊车工作时吊杆最大水平旋转角度为120°，吊杆与水平线的倾角可以从30°转到60°，求吊车工作时，工作人员不能站立的区域的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）先过点O作OD⊥AB于点D，交A′C于点E，则得出EC=DB=OO′=2，ED=BC，通过解直角三角形AOD和A′OE得出OD与OE，从而求出BC；先解直角三角形A′OE，得出A′E，然后求出B′C；
（2）吊杆端点A最远水平距离为吊杆与水平线的倾角为30°时，所以代入数值求解直角三角形即可求出OD的长，即吊车工作时工作人员不能站立的区域的半径，由圆的面积的公式即可去求出区域面积．
解答：解：（1）过点O作OD⊥AB于点D，交A′C于点E
根据题意可知EC=DB=OO′=2，ED=BC
∴∠A′ED=∠ADO=90°．
在Rt△AOD中，∵cosA==，
OA=10，
∴AD=6，
∴OD=8，在Rt△A′OE中，
∵sinA′==
OA′=10
∴OE=5．
∴BC=ED=OD-OE=8-5=3．
在Rt△A′OE中，
A′E=，
∴B′C=A′C-A′B′
=A′E+CE-AB，
=A′E+CE-（AD+BD）
=5+2-（6+2）
=5-6
答：此重物在水平方向移动的距离BC是3米，此重物在竖直方向移动的距离B′C是（5-6）米；
（2）当水平距离为吊杆与水平线的倾角为30°时，即吊车工作时工作人员不能站立的区域的半径，
在Rt△AOD中，OD=OA•cos30°=10×cos30°=5，
∵这台吊车工作时吊杆最大水平旋转角度为120°，
∴工作人员不能站立的区域的面积为：×π×（5）²=25π平方米
点评：此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题来解决，本题运用了直角三角形函数及勾股定理．