【题目】如图,抛物线y=﹣ x2+bx+e与x轴交于点A(﹣3,0)、点B(9,0),与y轴交于点C,顶点为D,连接AD、DB,点P为线段AD上一动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,过点P作BD的平行线,交AB于点Q,连接DQ,设AQ=m,△PDQ的面积为S,求S关于m的函数解析式,以及S的最大值;
(3)如图2,抛物线对称轴与x轴交与点G,E为OG的中点,F为点C关于DG对称的对称点,过点P分别作直线EF、DG的垂线,垂足为M、N,连接MN,直接写出△PMN为等腰三角形时点P的坐标.
【答案】
(1)解:∵a=﹣ ,抛物线与x轴交与点A(﹣3,0),点B(9,0),
∴可以假设抛物线解析式为y=﹣ (x+3)(x﹣9)=﹣ x2+ x+6,
∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+6
(2)解:∵y=﹣ x2+ x+6=﹣ (x﹣3)2+8,
∴顶点D坐标(3,8),
∵AD=DB=10,
∴∠DAB=∠DBA,
∵PQ∥BD,
∴∠PQA=∠DBA,
∴∠PAQ=∠PQA,
∴PA=PQ,
∴△PAQ为等腰三角形,
作PH⊥AQ于H,则AH=HQ= (如图1中),
∴tan∠DAB= = ,
∴PH= m,
∴S=S△ADQ﹣S△APQ= m8﹣ m m=﹣ m2+4m=﹣ (m﹣6)2+12,
∴当m=6时,S最大值=12
(3)解:∵E( ,0),F(6,6),
∴直线EF解析式为y= x﹣2,直线AD解析式为y= x+4,
∴EF∥AD,作EL⊥AD于L,(如图2中)
∵AE= ,sin∠DAB= ,
∴LE= × = =PM,
①PM=PN= 时,
∴xP=3﹣ =﹣ ,yP=﹣ × +4= ,
∴P(﹣ , ),
∴直线PM解析式为y=﹣ x+ ,
由 ,解得 ,
∴点M( , )
∴EM= = .
②NP=NM时,设直线EF与对称轴交于点K,K(3,2),
此时点N在PM的垂直平分线上,DN=NK,
∴N(3,5),P( ,5),
∴直线PM的解析式为y=﹣ x+ ,
由 ,解得 ,
∴M( , ),
∴EM= = ,
③PM=MN时,cos∠MPN= = ,
∴PN= ,由此可得P(﹣ , ),
∴直线PM解析式为y=﹣ x﹣ ,
由 解得 ,
∴M( ,﹣ ),
∴EM= = .
综上所述,EM= 或 或 .
【解析】(1)可以设出抛物线的解析式为y=﹣ (x+3)(x﹣9)展开即可;(2)作PH⊥AQ于H,则AH=HQ= 根据 S=S△ADQ﹣S△APQ建立二次函数;利用二次函数的性质即可求出结果;(3) 分三种情况讨论①PM=PN,②NP=NM,③PM=MN分别求出直线PM的解析式,利用方程组就出M点的坐标可解决问题。
【考点精析】认真审题,首先需要了解解二元一次方程组(二元一次方程组:①代入消元法;②加减消元法),还要掌握二次函数的最值(如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当x=-b/2a时,y最值=(4ac-b2)/4a)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于A(﹣2,m),B
(4,﹣2)两点,与x轴交于C点,过A作AD⊥x轴于D.
(1)求这两个函数的解析式:
(2)求△ADC的面积.
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【题目】有筐白菜,以每筐千克为标准,超过或不足的分别用正、负来表示,记录如下:
与标准质量的差单位:千克 | ||||||
筐 数 |
(1)与标准质量比较,筐白菜总计超过或不足多少千克?
(2)若白菜每千克售价元,则出售这筐白菜可卖多少元?
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【题目】如图1,E为边长为1的正方形ABCD中CD边上的一动点(不含点C、D),以BE为边作图中所示的正方形BEFG.
(1)求∠ADF的度数;
(2)如图2,若BF交AD于点H,连接EH,求证:HB平分∠AHE;
(3)如图3,连接AE、CG,作BM⊥AE于点M,BM交GC于点N,连接DN.当E在CD上运动时,求证:NC=NG.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,,,,,直线过点,且与轴交于点.
(1)求点、点的坐标;
(2)试说明:;
(3)若点是直线上的一个动点,在轴上是否存在另一个点,使以、、、为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知A,B是反比例函数y= (k>0,x>0)图象上的两点,BC∥x轴,交y轴于点C,动点P从坐标原点O出发,沿O→A→B→C(图中“→”所示路线)匀速运动,终点为C,过P作PM⊥x轴,垂足为M.设三角形OMP的面积为S,P点运动时间为t,则S关于t的函数图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图,台风中心位于点,并沿东北方向移动,已知台风移动的速度为40千米/时,受影响区域的半径为260千米,市位于点的北偏东75°方向上,距离点480千米.
(1)说明本次台风是否会影响市;
(2)若这次台风会影响市,求市受台风影响的时间.
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【题目】根据表中的信息判断,下列语句中正确的是
( )
A.=1.59
B.235的算术平方根比15.3小
C.只有3个正整数n满足
D.根据表中数据的变化趋势,可以推断出16.12将比256增大3.19
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