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7.如图,面积为6的平行四边形纸片ABCD中,AB=3,∠BAD=45°,按下列步骤裁剪和拼图.

第一步:如图①,将平行四边形纸片沿对角线BD剪开,得到△ABD和△BCD纸片,再将△ABD纸片沿AE剪开(E为BD上任意一点),得到△ABE和△ADE纸片;
第二步:如图②,将△ABE纸片平移至△DCF处,将△ADE纸片平移至△BCG处;
第三步:如图③,将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处(边PQ与DC重合,△PQM和△DCF在DC同侧),将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN处,(边PR与BC重合,△PRN和△BCG在BC同侧).
则由纸片拼成的五边形PMQRN中,BD=$\sqrt{5}$,对角线MN长度的最小值为$\frac{6\sqrt{10}}{5}$.

分析 根据平移和翻折的性质得到△MPN是等腰直角三角形,于是得到当PM最小时,对角线MN最小,即AE取最小值,当AE⊥BD时,AE取最小值,过D作DF⊥AB于F,根据平行四边形的面积得到DF=2,根据等腰直角三角形的性质得到AF=DF=2,由勾股定理得到BD=$\sqrt{D{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$,根据三角形的面积得到AE=$\frac{DF•AB}{BD}$=$\frac{2×3}{\sqrt{5}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$,即可得到结论.

解答 解:∵△ABE≌△CDF≌△PMQ,
∴AE=DF=PM,∠EAB=∠FDC=∠MPQ,
∵△ADE≌△BCG≌△PNR,
∴AE=BG=PN,∠DAE=∠CBG=∠RPN,
∴PM=PN,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠DAB=∠DCB=45°,
∴∠MPN=90°,
∴△MPN是等腰直角三角形,
当PM最小时,对角线MN最小,即AE取最小值,
∴当AE⊥BD时,AE取最小值,
过D作DF⊥AB于F,
∵平行四边形ABCD的面积为6,AB=3,
∴DF=2,
∵∠DAB=45°,
∴AF=DF=2,
∴BF=1,
∴BD=$\sqrt{D{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$,
∴AE=$\frac{DF•AB}{BD}$=$\frac{2×3}{\sqrt{5}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$,
∴MN=$\sqrt{2}$AE=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$.
故答案为:$\sqrt{5}$,$\frac{6\sqrt{10}}{5}$.

点评 本题考查了平移的性质,翻折的性质,勾股定理,平行四边形的性质,正确的识别图形是解题的关键.

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