Question

如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；
（2）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q，O，A，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）如图，设AB的中点为C，连接OP，由于AB是圆的切线，故△OPC是直角三角形，所以当OC与OP重合时，OC最短；
（2）分两种情况：如图（1），当四边形APOQ是正方形时，△OPA，△OAQ都是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为（

2

，-

2

），如图（2），可求得∠QOP=∠OPA=90°，由于OP=OQ，故△OPQ是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为（-

2

，

2

）．

解答：解：（1）线段AB长度的最小值为4，
理由如下：
连接OP，
∵AB切⊙O于P，
∴OP⊥AB，
取AB的中点C，
则AB=2OC；
当OC=OP时，OC最短，
即AB最短，
此时AB=4；

（2）设存在符合条件的点Q，
如图①，设四边形APOQ为平行四边形；
∵∠APO=90°，
∴四边形APOQ为矩形，
又∵OP=OQ，
∴四边形APOQ为正方形，
∴OQ=QA，∠QOA=45°；
在Rt△OQA中，根据OQ=2，∠AOQ=45°，
得Q点坐标为（

2

，-

2

）；
如图②，设四边形APQO为平行四边形；
∵OQ∥PA，∠APO=90°，
∴∠POQ=90°，
又∵OP=OQ，
∴∠PQO=45°，
∵PQ∥OA，
∴PQ⊥y轴；
设PQ⊥y轴于点H，
在Rt△OHQ中，根据OQ=2，∠HQO=45°，
得Q点坐标为（-

2

，

2

）．
∴符合条件的点Q的坐标为（

2

，-

2

）或（-

2

，

2

）．

点评：本题利用了切线的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质求解．