Question

感知：如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG ≌△BAF ；（不要求证明） 拓展：如图②，点B 、C 分别在∠MAN 的边AM 、AN 上，点E 、F 在∠MAN 内部的射线AD 上，∠1 、∠2 分别是△ABE 、△CAF 的外角，已知AB=AC ，∠1= ∠2= ∠BAC ，求证：△ABE ≌△CAF ．
应用：如图③，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，AB ＞BC ．点D 在边BC 上，CD=2BD ，点E 、F 在线段AD 上，∠1= ∠2= ∠BAC，若△ABC 的面积为9 ，则△ABE 与△CDF 的面积之和为______。

Answer 1

拓展： 证明：∵∠1= ∠2 ， ∴∠BEA= ∠AFC ， ∵∠1= ∠ABE+ ∠3 ，∠3+ ∠4= ∠BAC ，∠1= ∠BAC ， ∴∠BAC= ∠ABE+ ∠3 ， ∴∠4= ∠ABE， ∴， ∴△ABE≌△CAF（AAS）； 应用： ∵在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，CD=2BD ， ∴△ABD与△ADC等高，底边比值为：1 ：2， ∴△ABD与△ADC 面积比为：1 ：2， ∵△ABC的面积为9， ∴△ABD 与△ADC 面积分别为：3，6； ∵∠1= ∠2， ∴∠BEA= ∠AFC， ∵∠1=∠ABE+ ∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1= ∠BAC， ∴∠BAC=∠ABE+∠3， ∴∠4=∠ABE， ∴， ∴△ABE ≌△CAF（AAS ）， ∴△ABE 与△CAF 面积相等， ∴△ABE 与△CDF 的面积之和为△ADC 的面积， ∴△ABE 与△CDF 的面积之和为6， 故答案为：6。